Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-reu |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) |
2 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) ) |
3 |
|
anass |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝜓 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) ) |
4 |
3
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝜓 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) ) |
5 |
2 4
|
bitr4i |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ↔ ∃ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝜓 ) ) |
6 |
|
eupick |
⊢ ( ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ∃ 𝑥 ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ 𝜓 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → 𝜓 ) ) |
7 |
1 5 6
|
syl2anb |
⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) → 𝜓 ) ) |
8 |
7
|
expd |
⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) → ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( 𝜑 → 𝜓 ) ) ) |
9 |
8
|
3impia |
⊢ ( ( ∃! 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) → ( 𝜑 → 𝜓 ) ) |