Metamath Proof Explorer

Theorem ringass

Description: Associative law for multiplication in a ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses ringcl.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
ringcl.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
Assertion ringass ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘Œ ) ยท ๐‘ ) = ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘Œ ยท ๐‘ ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ringcl.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
2 ringcl.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
3 eqid โŠข ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) = ( mulGrp โ€˜ ๐‘… )
4 3 ringmgp โŠข ( ๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ Mnd )
5 3 1 mgpbas โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) )
6 3 2 mgpplusg โŠข ยท = ( +g โ€˜ ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) )
7 5 6 mndass โŠข ( ( ( mulGrp โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ Mnd โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘Œ ) ยท ๐‘ ) = ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘Œ ยท ๐‘ ) ) )
8 4 7 sylan โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘Œ ) ยท ๐‘ ) = ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘Œ ยท ๐‘ ) ) )