Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
soi.1 |
⊢ 𝑅 Or 𝑆 |
2 |
|
soi.2 |
⊢ 𝑅 ⊆ ( 𝑆 × 𝑆 ) |
3 |
2
|
brel |
⊢ ( 𝐴 𝑅 𝐵 → ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ) ) |
4 |
3
|
simpld |
⊢ ( 𝐴 𝑅 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝑆 ) |
5 |
2
|
brel |
⊢ ( 𝐵 𝑅 𝐶 → ( 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ) |
6 |
4 5
|
anim12i |
⊢ ( ( 𝐴 𝑅 𝐵 ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) → ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ) ) |
7 |
|
sotr |
⊢ ( ( 𝑅 Or 𝑆 ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( 𝐴 𝑅 𝐵 ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) → 𝐴 𝑅 𝐶 ) ) |
8 |
1 7
|
mpan |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) → ( ( 𝐴 𝑅 𝐵 ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) → 𝐴 𝑅 𝐶 ) ) |
9 |
8
|
3expb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ( 𝐵 ∈ 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆 ) ) → ( ( 𝐴 𝑅 𝐵 ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) → 𝐴 𝑅 𝐶 ) ) |
10 |
6 9
|
mpcom |
⊢ ( ( 𝐴 𝑅 𝐵 ∧ 𝐵 𝑅 𝐶 ) → 𝐴 𝑅 𝐶 ) |