Theorem sqsumi

Description: A sum squared. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022)

	Ref	Expression
Hypotheses	sqsumi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
	sqsumi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
Assertion	sqsumi	⊢ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) + ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqsumi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2		sqsumi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ
3	1 2 1 2	muladdi	⊢ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
4	1 2	mulcli	⊢ ( 𝐴 · 𝐵 ) ∈ ℂ
5	4	2timesi	⊢ ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐵 ) )
6	5	eqcomi	⊢ ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) = ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) )
7	6	oveq2i	⊢ ( ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) + ( ( 𝐴 · 𝐵 ) + ( 𝐴 · 𝐵 ) ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) + ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )
8	3 7	eqtri	⊢ ( ( 𝐴 + 𝐵 ) · ( 𝐴 + 𝐵 ) ) = ( ( ( 𝐴 · 𝐴 ) + ( 𝐵 · 𝐵 ) ) + ( 2 · ( 𝐴 · 𝐵 ) ) )