Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
id |
⊢ ( ( 𝜑 → 𝜓 ) → ( 𝜑 → 𝜓 ) ) |
2 |
1
|
anim2d |
⊢ ( ( 𝜑 → 𝜓 ) → ( ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) ) ) |
3 |
2
|
aleximi |
⊢ ( ∀ 𝑦 ( 𝜑 → 𝜓 ) → ( ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) ) ) |
4 |
3
|
aleximi |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝜑 → 𝜓 ) → ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) → ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) ) ) |
5 |
4
|
ss2abdv |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝜑 → 𝜓 ) → { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } ⊆ { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) } ) |
6 |
|
df-opab |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } = { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) } |
7 |
|
df-opab |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } = { 𝑧 ∣ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜓 ) } |
8 |
5 6 7
|
3sstr4g |
⊢ ( ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( 𝜑 → 𝜓 ) → { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜑 } ⊆ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ 𝜓 } ) |