Theorem subeqrev

Description: Reverse the order of subtraction in an equality. (Contributed by Scott Fenton, 8-Jul-2013)

	Ref	Expression
Assertion	subeqrev	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
2		subcl	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℂ )
3		neg11	⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) → ( - ( 𝐴 − 𝐵 ) = - ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) )
4	1 2 3	syl2an	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( - ( 𝐴 − 𝐵 ) = - ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ) )
5		negsubdi2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → - ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
6		negsubdi2	⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) → - ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐷 − 𝐶 ) )
7	5 6	eqeqan12d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( - ( 𝐴 − 𝐵 ) = - ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐶 ) ) )
8	4 7	bitr3d	⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐶 − 𝐷 ) ↔ ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝐶 ) ) )