Theorem subsub4

Description: Law for double subtraction. (Contributed by NM, 19-Aug-2005) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016)

	Ref	Expression
Assertion	subsub4	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − 𝐶 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nppcan2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) + 𝐶 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) )
2		simp1	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝐴 ∈ ℂ )
3		simp2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝐵 ∈ ℂ )
4		subcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
5	2 3 4	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ )
6		simp3	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → 𝐶 ∈ ℂ )
7	3 6	addcld	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℂ )
8		subcl	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 + 𝐶 ) ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ∈ ℂ )
9	2 7 8	syl2anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ∈ ℂ )
10		subadd2	⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − 𝐶 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ↔ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) + 𝐶 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) )
11	5 6 9 10	syl3anc	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − 𝐶 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) ↔ ( ( 𝐴 − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) + 𝐶 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) ) )
12	1 11	mpbird	⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) − 𝐶 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 + 𝐶 ) ) )