Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
utoptop.1 |
⊢ 𝐽 = ( unifTop ‘ 𝑈 ) |
2 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) = ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) |
3 |
|
imaeq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝑉 → ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) = ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ) |
4 |
3
|
rspceeqv |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) = ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑈 ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) = ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) |
5 |
2 4
|
mpan2 |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑈 → ∃ 𝑣 ∈ 𝑈 ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) = ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) |
6 |
5
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ∃ 𝑣 ∈ 𝑈 ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) = ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) |
7 |
1
|
utopsnneip |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) = ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) ) |
8 |
7
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) = ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) ) |
9 |
8
|
eleq2d |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ↔ ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ∈ ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) ) ) |
10 |
|
imaexg |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑈 → ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ∈ V ) |
11 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) = ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) |
12 |
11
|
elrnmpt |
⊢ ( ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ∈ V → ( ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ∈ ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑈 ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) = ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) ) |
13 |
10 12
|
syl |
⊢ ( 𝑉 ∈ 𝑈 → ( ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ∈ ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑈 ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) = ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) ) |
14 |
13
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ∈ ran ( 𝑣 ∈ 𝑈 ↦ ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑈 ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) = ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) ) |
15 |
9 14
|
bitrd |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ↔ ∃ 𝑣 ∈ 𝑈 ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) = ( 𝑣 “ { 𝑃 } ) ) ) |
16 |
6 15
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ ( UnifOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑉 “ { 𝑃 } ) ∈ ( ( nei ‘ 𝐽 ) ‘ { 𝑃 } ) ) |