Metamath Proof Explorer


Theorem vcidOLD

Description: Identity element for the scalar product of a complex vector space. (Contributed by NM, 3-Nov-2006) Obsolete theorem, use clmvs1 together with cvsclm instead. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses vciOLD.1 โŠข ๐บ = ( 1st โ€˜ ๐‘Š )
vciOLD.2 โŠข ๐‘† = ( 2nd โ€˜ ๐‘Š )
vciOLD.3 โŠข ๐‘‹ = ran ๐บ
Assertion vcidOLD ( ( ๐‘Š โˆˆ CVecOLD โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ ) โ†’ ( 1 ๐‘† ๐ด ) = ๐ด )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 vciOLD.1 โŠข ๐บ = ( 1st โ€˜ ๐‘Š )
2 vciOLD.2 โŠข ๐‘† = ( 2nd โ€˜ ๐‘Š )
3 vciOLD.3 โŠข ๐‘‹ = ran ๐บ
4 1 2 3 vciOLD โŠข ( ๐‘Š โˆˆ CVecOLD โ†’ ( ๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘† : ( โ„‚ ร— ๐‘‹ ) โŸถ ๐‘‹ โˆง โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ( ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ( โˆ€ ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ ( ๐‘ฆ ๐‘† ( ๐‘ฅ ๐บ ๐‘ง ) ) = ( ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ฅ ) ๐บ ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ง ) ) โˆง โˆ€ ๐‘ง โˆˆ โ„‚ ( ( ( ๐‘ฆ + ๐‘ง ) ๐‘† ๐‘ฅ ) = ( ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ฅ ) ๐บ ( ๐‘ง ๐‘† ๐‘ฅ ) ) โˆง ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘ง ) ๐‘† ๐‘ฅ ) = ( ๐‘ฆ ๐‘† ( ๐‘ง ๐‘† ๐‘ฅ ) ) ) ) ) ) )
5 simpl โŠข ( ( ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ( โˆ€ ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ ( ๐‘ฆ ๐‘† ( ๐‘ฅ ๐บ ๐‘ง ) ) = ( ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ฅ ) ๐บ ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ง ) ) โˆง โˆ€ ๐‘ง โˆˆ โ„‚ ( ( ( ๐‘ฆ + ๐‘ง ) ๐‘† ๐‘ฅ ) = ( ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ฅ ) ๐บ ( ๐‘ง ๐‘† ๐‘ฅ ) ) โˆง ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘ง ) ๐‘† ๐‘ฅ ) = ( ๐‘ฆ ๐‘† ( ๐‘ง ๐‘† ๐‘ฅ ) ) ) ) ) โ†’ ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ๐‘ฅ )
6 5 ralimi โŠข ( โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ( ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ( โˆ€ ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ ( ๐‘ฆ ๐‘† ( ๐‘ฅ ๐บ ๐‘ง ) ) = ( ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ฅ ) ๐บ ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ง ) ) โˆง โˆ€ ๐‘ง โˆˆ โ„‚ ( ( ( ๐‘ฆ + ๐‘ง ) ๐‘† ๐‘ฅ ) = ( ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ฅ ) ๐บ ( ๐‘ง ๐‘† ๐‘ฅ ) ) โˆง ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘ง ) ๐‘† ๐‘ฅ ) = ( ๐‘ฆ ๐‘† ( ๐‘ง ๐‘† ๐‘ฅ ) ) ) ) ) โ†’ โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ๐‘ฅ )
7 6 3ad2ant3 โŠข ( ( ๐บ โˆˆ AbelOp โˆง ๐‘† : ( โ„‚ ร— ๐‘‹ ) โŸถ ๐‘‹ โˆง โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ( ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ๐‘ฅ โˆง โˆ€ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ ( โˆ€ ๐‘ง โˆˆ ๐‘‹ ( ๐‘ฆ ๐‘† ( ๐‘ฅ ๐บ ๐‘ง ) ) = ( ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ฅ ) ๐บ ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ง ) ) โˆง โˆ€ ๐‘ง โˆˆ โ„‚ ( ( ( ๐‘ฆ + ๐‘ง ) ๐‘† ๐‘ฅ ) = ( ( ๐‘ฆ ๐‘† ๐‘ฅ ) ๐บ ( ๐‘ง ๐‘† ๐‘ฅ ) ) โˆง ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘ง ) ๐‘† ๐‘ฅ ) = ( ๐‘ฆ ๐‘† ( ๐‘ง ๐‘† ๐‘ฅ ) ) ) ) ) ) โ†’ โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ๐‘ฅ )
8 4 7 syl โŠข ( ๐‘Š โˆˆ CVecOLD โ†’ โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ๐‘ฅ )
9 oveq2 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ( 1 ๐‘† ๐ด ) )
10 id โŠข ( ๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ๐‘ฅ = ๐ด )
11 9 10 eqeq12d โŠข ( ๐‘ฅ = ๐ด โ†’ ( ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ๐‘ฅ โ†” ( 1 ๐‘† ๐ด ) = ๐ด ) )
12 11 rspccva โŠข ( ( โˆ€ ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘‹ ( 1 ๐‘† ๐‘ฅ ) = ๐‘ฅ โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ ) โ†’ ( 1 ๐‘† ๐ด ) = ๐ด )
13 8 12 sylan โŠข ( ( ๐‘Š โˆˆ CVecOLD โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ ) โ†’ ( 1 ๐‘† ๐ด ) = ๐ด )