Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
vciOLD.1 |
โข ๐บ = ( 1st โ ๐ ) |
2 |
|
vciOLD.2 |
โข ๐ = ( 2nd โ ๐ ) |
3 |
|
vciOLD.3 |
โข ๐ = ran ๐บ |
4 |
1 2 3
|
vciOLD |
โข ( ๐ โ CVecOLD โ ( ๐บ โ AbelOp โง ๐ : ( โ ร ๐ ) โถ ๐ โง โ ๐ฅ โ ๐ ( ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ๐ฅ โง โ ๐ฆ โ โ ( โ ๐ง โ ๐ ( ๐ฆ ๐ ( ๐ฅ ๐บ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ๐ ๐ฅ ) ๐บ ( ๐ฆ ๐ ๐ง ) ) โง โ ๐ง โ โ ( ( ( ๐ฆ + ๐ง ) ๐ ๐ฅ ) = ( ( ๐ฆ ๐ ๐ฅ ) ๐บ ( ๐ง ๐ ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ๐ ๐ฅ ) = ( ๐ฆ ๐ ( ๐ง ๐ ๐ฅ ) ) ) ) ) ) ) |
5 |
|
simpl |
โข ( ( ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ๐ฅ โง โ ๐ฆ โ โ ( โ ๐ง โ ๐ ( ๐ฆ ๐ ( ๐ฅ ๐บ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ๐ ๐ฅ ) ๐บ ( ๐ฆ ๐ ๐ง ) ) โง โ ๐ง โ โ ( ( ( ๐ฆ + ๐ง ) ๐ ๐ฅ ) = ( ( ๐ฆ ๐ ๐ฅ ) ๐บ ( ๐ง ๐ ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ๐ ๐ฅ ) = ( ๐ฆ ๐ ( ๐ง ๐ ๐ฅ ) ) ) ) ) โ ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ๐ฅ ) |
6 |
5
|
ralimi |
โข ( โ ๐ฅ โ ๐ ( ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ๐ฅ โง โ ๐ฆ โ โ ( โ ๐ง โ ๐ ( ๐ฆ ๐ ( ๐ฅ ๐บ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ๐ ๐ฅ ) ๐บ ( ๐ฆ ๐ ๐ง ) ) โง โ ๐ง โ โ ( ( ( ๐ฆ + ๐ง ) ๐ ๐ฅ ) = ( ( ๐ฆ ๐ ๐ฅ ) ๐บ ( ๐ง ๐ ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ๐ ๐ฅ ) = ( ๐ฆ ๐ ( ๐ง ๐ ๐ฅ ) ) ) ) ) โ โ ๐ฅ โ ๐ ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ๐ฅ ) |
7 |
6
|
3ad2ant3 |
โข ( ( ๐บ โ AbelOp โง ๐ : ( โ ร ๐ ) โถ ๐ โง โ ๐ฅ โ ๐ ( ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ๐ฅ โง โ ๐ฆ โ โ ( โ ๐ง โ ๐ ( ๐ฆ ๐ ( ๐ฅ ๐บ ๐ง ) ) = ( ( ๐ฆ ๐ ๐ฅ ) ๐บ ( ๐ฆ ๐ ๐ง ) ) โง โ ๐ง โ โ ( ( ( ๐ฆ + ๐ง ) ๐ ๐ฅ ) = ( ( ๐ฆ ๐ ๐ฅ ) ๐บ ( ๐ง ๐ ๐ฅ ) ) โง ( ( ๐ฆ ยท ๐ง ) ๐ ๐ฅ ) = ( ๐ฆ ๐ ( ๐ง ๐ ๐ฅ ) ) ) ) ) ) โ โ ๐ฅ โ ๐ ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ๐ฅ ) |
8 |
4 7
|
syl |
โข ( ๐ โ CVecOLD โ โ ๐ฅ โ ๐ ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ๐ฅ ) |
9 |
|
oveq2 |
โข ( ๐ฅ = ๐ด โ ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ( 1 ๐ ๐ด ) ) |
10 |
|
id |
โข ( ๐ฅ = ๐ด โ ๐ฅ = ๐ด ) |
11 |
9 10
|
eqeq12d |
โข ( ๐ฅ = ๐ด โ ( ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ๐ฅ โ ( 1 ๐ ๐ด ) = ๐ด ) ) |
12 |
11
|
rspccva |
โข ( ( โ ๐ฅ โ ๐ ( 1 ๐ ๐ฅ ) = ๐ฅ โง ๐ด โ ๐ ) โ ( 1 ๐ ๐ด ) = ๐ด ) |
13 |
8 12
|
sylan |
โข ( ( ๐ โ CVecOLD โง ๐ด โ ๐ ) โ ( 1 ๐ ๐ด ) = ๐ด ) |