Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
xadddi |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( 𝐶 ·e ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) ) = ( ( 𝐶 ·e 𝐴 ) +𝑒 ( 𝐶 ·e 𝐵 ) ) ) |
2 |
1
|
3coml |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐶 ·e ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) ) = ( ( 𝐶 ·e 𝐴 ) +𝑒 ( 𝐶 ·e 𝐵 ) ) ) |
3 |
|
xaddcl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ) |
4 |
3
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ) |
5 |
|
rexr |
⊢ ( 𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
6 |
5
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
7 |
|
xmulcom |
⊢ ( ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) ·e 𝐶 ) = ( 𝐶 ·e ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) ) ) |
8 |
4 6 7
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) ·e 𝐶 ) = ( 𝐶 ·e ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) ) ) |
9 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
10 |
|
xmulcom |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 ·e 𝐶 ) = ( 𝐶 ·e 𝐴 ) ) |
11 |
9 6 10
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐴 ·e 𝐶 ) = ( 𝐶 ·e 𝐴 ) ) |
12 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
13 |
|
xmulcom |
⊢ ( ( 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐵 ·e 𝐶 ) = ( 𝐶 ·e 𝐵 ) ) |
14 |
12 6 13
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( 𝐵 ·e 𝐶 ) = ( 𝐶 ·e 𝐵 ) ) |
15 |
11 14
|
oveq12d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 ·e 𝐶 ) +𝑒 ( 𝐵 ·e 𝐶 ) ) = ( ( 𝐶 ·e 𝐴 ) +𝑒 ( 𝐶 ·e 𝐵 ) ) ) |
16 |
2 8 15
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 +𝑒 𝐵 ) ·e 𝐶 ) = ( ( 𝐴 ·e 𝐶 ) +𝑒 ( 𝐵 ·e 𝐶 ) ) ) |