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Theorem xmstri3

Description: Triangle inequality for the distance function of an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015)

Ref Expression
Hypotheses mscl.x ⊒ 𝑋 = ( Base β€˜ 𝑀 )
mscl.d ⊒ 𝐷 = ( dist β€˜ 𝑀 )
Assertion xmstri3 ( ( 𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( 𝐴 𝐷 𝐡 ) ≀ ( ( 𝐴 𝐷 𝐢 ) +𝑒 ( 𝐡 𝐷 𝐢 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mscl.x ⊒ 𝑋 = ( Base β€˜ 𝑀 )
2 mscl.d ⊒ 𝐷 = ( dist β€˜ 𝑀 )
3 1 2 xmsxmet2 ⊒ ( 𝑀 ∈ ∞MetSp β†’ ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) )
4 xmettri3 ⊒ ( ( ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) ∈ ( ∞Met β€˜ 𝑋 ) ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( 𝐴 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐡 ) ≀ ( ( 𝐴 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐢 ) +𝑒 ( 𝐡 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐢 ) ) )
5 3 4 sylan ⊒ ( ( 𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( 𝐴 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐡 ) ≀ ( ( 𝐴 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐢 ) +𝑒 ( 𝐡 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐢 ) ) )
6 simpr1 ⊒ ( ( 𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋 )
7 simpr2 ⊒ ( ( 𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋 )
8 6 7 ovresd ⊒ ( ( 𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( 𝐴 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐡 ) = ( 𝐴 𝐷 𝐡 ) )
9 simpr3 ⊒ ( ( 𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ 𝐢 ∈ 𝑋 )
10 6 9 ovresd ⊒ ( ( 𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( 𝐴 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐢 ) = ( 𝐴 𝐷 𝐢 ) )
11 7 9 ovresd ⊒ ( ( 𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( 𝐡 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐢 ) = ( 𝐡 𝐷 𝐢 ) )
12 10 11 oveq12d ⊒ ( ( 𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( ( 𝐴 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐢 ) +𝑒 ( 𝐡 ( 𝐷 β†Ύ ( 𝑋 Γ— 𝑋 ) ) 𝐢 ) ) = ( ( 𝐴 𝐷 𝐢 ) +𝑒 ( 𝐡 𝐷 𝐢 ) ) )
13 5 8 12 3brtr3d ⊒ ( ( 𝑀 ∈ ∞MetSp ∧ ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐢 ∈ 𝑋 ) ) β†’ ( 𝐴 𝐷 𝐡 ) ≀ ( ( 𝐴 𝐷 𝐢 ) +𝑒 ( 𝐡 𝐷 𝐢 ) ) )