Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
zltlesub.n |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
2 |
|
zltlesub.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
3 |
|
zltlesub.nlea |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ≤ 𝐴 ) |
4 |
|
zltlesub.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
5 |
|
zltlesub.blt1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 < 1 ) |
6 |
|
zltlesub.asb |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℤ ) |
7 |
1
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ ) |
8 |
6
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
9 |
8 4
|
readdcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
10 |
|
peano2re |
⊢ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℝ → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
11 |
8 10
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 1 ) ∈ ℝ ) |
12 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
13 |
4
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
14 |
12 13
|
npcand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 𝐵 ) = 𝐴 ) |
15 |
3 14
|
breqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ≤ ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 𝐵 ) ) |
16 |
|
1red |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
17 |
4 16 8 5
|
ltadd2dd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 𝐵 ) < ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 1 ) ) |
18 |
7 9 11 15 17
|
lelttrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 < ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 1 ) ) |
19 |
|
zleltp1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 𝐴 − 𝐵 ) ∈ ℤ ) → ( 𝑁 ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ↔ 𝑁 < ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 1 ) ) ) |
20 |
1 6 19
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ↔ 𝑁 < ( ( 𝐴 − 𝐵 ) + 1 ) ) ) |
21 |
18 20
|
mpbird |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) ) |