Metamath Proof Explorer

Theorem 4atex3

Description: More general version of 4atex for a line S .\/ T not necessarily connected to P .\/ Q . (Contributed by NM, 29-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses 4that.l 
|- .<_ = ( le ` K )
4that.j 
|- .\/ = ( join ` K )
4that.a 
|- A = ( Atoms ` K )
4that.h 
|- H = ( LHyp ` K )
Assertion 4atex3 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= S /\ z =/= T /\ z .<_ ( S .\/ T ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 4that.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 4that.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 4that.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 4that.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
6 simp2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) )
7 simp31 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P =/= Q )
8 simp32l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> T e. A )
9 simp33 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) )
10 1 2 3 4 4atex2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ T e. A /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( S .\/ z ) = ( T .\/ z ) ) )
11 5 6 7 8 9 10 syl113anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( S .\/ z ) = ( T .\/ z ) ) )
12 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. HL )
13 hlcvl 
 |-  ( K e. HL -> K e. CvLat )
14 12 13 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. CvLat )
15 14 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> K e. CvLat )
16 simp23l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> S e. A )
17 16 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> S e. A )
18 8 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> T e. A )
19 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. A )
20 simp32r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> S =/= T )
21 20 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> S =/= T )
22 3 1 2 cvlsupr2 
 |-  ( ( K e. CvLat /\ ( S e. A /\ T e. A /\ z e. A ) /\ S =/= T ) -> ( ( S .\/ z ) = ( T .\/ z ) <-> ( z =/= S /\ z =/= T /\ z .<_ ( S .\/ T ) ) ) )
23 15 17 18 19 21 22 syl131anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( S .\/ z ) = ( T .\/ z ) <-> ( z =/= S /\ z =/= T /\ z .<_ ( S .\/ T ) ) ) )
24 23 anbi2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) /\ z e. A ) -> ( ( -. z .<_ W /\ ( S .\/ z ) = ( T .\/ z ) ) <-> ( -. z .<_ W /\ ( z =/= S /\ z =/= T /\ z .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) )
25 24 rexbidva 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( S .\/ z ) = ( T .\/ z ) ) <-> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= S /\ z =/= T /\ z .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) )
26 11 25 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( T e. A /\ S =/= T ) /\ E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> E. z e. A ( -. z .<_ W /\ ( z =/= S /\ z =/= T /\ z .<_ ( S .\/ T ) ) ) )