Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
abrexdomjm.1 |
|- ( y e. A -> E* x ph ) |
2 |
|
df-rex |
|- ( E. y e. A ph <-> E. y ( y e. A /\ ph ) ) |
3 |
2
|
abbii |
|- { x | E. y e. A ph } = { x | E. y ( y e. A /\ ph ) } |
4 |
|
rnopab |
|- ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } = { x | E. y ( y e. A /\ ph ) } |
5 |
3 4
|
eqtr4i |
|- { x | E. y e. A ph } = ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } |
6 |
|
dmopabss |
|- dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } C_ A |
7 |
|
ssexg |
|- ( ( dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } C_ A /\ A e. V ) -> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } e. _V ) |
8 |
6 7
|
mpan |
|- ( A e. V -> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } e. _V ) |
9 |
|
funopab |
|- ( Fun { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } <-> A. y E* x ( y e. A /\ ph ) ) |
10 |
|
moanimv |
|- ( E* x ( y e. A /\ ph ) <-> ( y e. A -> E* x ph ) ) |
11 |
1 10
|
mpbir |
|- E* x ( y e. A /\ ph ) |
12 |
9 11
|
mpgbir |
|- Fun { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } |
13 |
12
|
a1i |
|- ( A e. V -> Fun { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ) |
14 |
|
funfn |
|- ( Fun { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } <-> { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } Fn dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ) |
15 |
13 14
|
sylib |
|- ( A e. V -> { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } Fn dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ) |
16 |
|
fnrndomg |
|- ( dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } e. _V -> ( { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } Fn dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } -> ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ) ) |
17 |
8 15 16
|
sylc |
|- ( A e. V -> ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ) |
18 |
|
ssdomg |
|- ( A e. V -> ( dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } C_ A -> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ A ) ) |
19 |
6 18
|
mpi |
|- ( A e. V -> dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ A ) |
20 |
|
domtr |
|- ( ( ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } /\ dom { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ A ) -> ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ A ) |
21 |
17 19 20
|
syl2anc |
|- ( A e. V -> ran { <. y , x >. | ( y e. A /\ ph ) } ~<_ A ) |
22 |
5 21
|
eqbrtrid |
|- ( A e. V -> { x | E. y e. A ph } ~<_ A ) |