Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl21 |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> A e. ( EE ` N ) ) |
2 |
|
fveere |
|- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. RR ) |
3 |
1 2
|
sylancom |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. RR ) |
4 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> C e. ( EE ` N ) ) |
5 |
|
fveere |
|- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. RR ) |
6 |
4 5
|
sylancom |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. RR ) |
7 |
3 6
|
resubcld |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. RR ) |
8 |
|
simpl31 |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> D e. ( EE ` N ) ) |
9 |
|
fveere |
|- ( ( D e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( D ` j ) e. RR ) |
10 |
8 9
|
sylancom |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( D ` j ) e. RR ) |
11 |
|
simpl33 |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> F e. ( EE ` N ) ) |
12 |
|
fveere |
|- ( ( F e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` j ) e. RR ) |
13 |
11 12
|
sylancom |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( F ` j ) e. RR ) |
14 |
10 13
|
resubcld |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) e. RR ) |
15 |
7 14
|
jca |
|- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. RR /\ ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) e. RR ) ) |