Theorem axacndlem3

Description: Lemma for the Axiom of Choice with no distinct variable conditions. Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-13 . (Contributed by NM, 3-Jan-2002) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	axacndlem3	|- ( A. y y = z -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfae	|- F/ z A. y y = z
2		simpl	|- ( ( y e. z /\ z e. w ) -> y e. z )
3	2	alimi	|- ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> A. x y e. z )
4		nd3	|- ( A. y y = z -> -. A. x y e. z )
5	4	pm2.21d	|- ( A. y y = z -> ( A. x y e. z -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
6	3 5	syl5	|- ( A. y y = z -> ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
7	1 6	alrimi	|- ( A. y y = z -> A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
8	7	axc4i	|- ( A. y y = z -> A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )
9	8	19.8ad	|- ( A. y y = z -> E. x A. y A. z ( A. x ( y e. z /\ z e. w ) -> E. w A. y ( E. w ( ( y e. z /\ z e. w ) /\ ( y e. w /\ w e. x ) ) <-> y = w ) ) )