Theorem axregprim

Description: ax-reg without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010)

	Ref	Expression
Assertion	axregprim	|- ( x e. y -> -. A. x ( x e. y -> -. A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axregnd	|- ( x e. y -> E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
2		df-an	|- ( ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) <-> -. ( x e. y -> -. A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
3	2	exbii	|- ( E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) <-> E. x -. ( x e. y -> -. A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
4		exnal	|- ( E. x -. ( x e. y -> -. A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) <-> -. A. x ( x e. y -> -. A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
5	3 4	bitri	|- ( E. x ( x e. y /\ A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) <-> -. A. x ( x e. y -> -. A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )
6	1 5	sylib	|- ( x e. y -> -. A. x ( x e. y -> -. A. z ( z e. x -> -. z e. y ) ) )