Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
oveq1 |
|- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( A + B ) = ( if ( A e. CC , A , 0 ) + B ) ) |
2 |
1
|
oveq1d |
|- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) + B ) ^ 2 ) ) |
3 |
|
oveq1 |
|- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( A ^ 2 ) = ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) ) |
4 |
|
oveq1 |
|- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( A x. B ) = ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. B ) ) |
5 |
4
|
oveq2d |
|- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( 2 x. ( A x. B ) ) = ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. B ) ) ) |
6 |
3 5
|
oveq12d |
|- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) = ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. B ) ) ) ) |
7 |
6
|
oveq1d |
|- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) ) |
8 |
2 7
|
eqeq12d |
|- ( A = if ( A e. CC , A , 0 ) -> ( ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) <-> ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) + B ) ^ 2 ) = ( ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) ) ) |
9 |
|
oveq2 |
|- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( if ( A e. CC , A , 0 ) + B ) = ( if ( A e. CC , A , 0 ) + if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) |
10 |
9
|
oveq1d |
|- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) + B ) ^ 2 ) = ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) + if ( B e. CC , B , 0 ) ) ^ 2 ) ) |
11 |
|
oveq2 |
|- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. B ) = ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) |
12 |
11
|
oveq2d |
|- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. B ) ) = ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) ) |
13 |
12
|
oveq2d |
|- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. B ) ) ) = ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) ) ) |
14 |
|
oveq1 |
|- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( B ^ 2 ) = ( if ( B e. CC , B , 0 ) ^ 2 ) ) |
15 |
13 14
|
oveq12d |
|- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) ) + ( if ( B e. CC , B , 0 ) ^ 2 ) ) ) |
16 |
10 15
|
eqeq12d |
|- ( B = if ( B e. CC , B , 0 ) -> ( ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) + B ) ^ 2 ) = ( ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) <-> ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) + if ( B e. CC , B , 0 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) ) + ( if ( B e. CC , B , 0 ) ^ 2 ) ) ) ) |
17 |
|
0cn |
|- 0 e. CC |
18 |
17
|
elimel |
|- if ( A e. CC , A , 0 ) e. CC |
19 |
17
|
elimel |
|- if ( B e. CC , B , 0 ) e. CC |
20 |
18 19
|
binom2i |
|- ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) + if ( B e. CC , B , 0 ) ) ^ 2 ) = ( ( ( if ( A e. CC , A , 0 ) ^ 2 ) + ( 2 x. ( if ( A e. CC , A , 0 ) x. if ( B e. CC , B , 0 ) ) ) ) + ( if ( B e. CC , B , 0 ) ^ 2 ) ) |
21 |
8 16 20
|
dedth2h |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( A + B ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( 2 x. ( A x. B ) ) ) + ( B ^ 2 ) ) ) |