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Theorem bj-cbvexim

Description: A lemma used to prove bj-cbvex in a weak axiomatization. (Contributed by BJ, 12-Mar-2023) (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Assertion bj-cbvexim 
|- ( A. x E. y ch -> ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ax5e 
 |-  ( E. x E. y ps -> E. y ps )
2 ax-5 
 |-  ( ph -> A. y ph )
3 2 ax-gen 
 |-  A. x ( ph -> A. y ph )
4 bj-cbveximt 
 |-  ( A. x E. y ch -> ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) ) ) )
5 4 com3l 
 |-  ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( A. x E. y ch -> ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) ) ) )
6 5 com14 
 |-  ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( A. x E. y ch -> ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) ) ) )
7 1 3 6 mp2 
 |-  ( A. x E. y ch -> ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) )