Theorem bj-cbveximt

Description: A lemma in closed form used to prove bj-cbvex in a weak axiomatization. (Contributed by BJ, 12-Mar-2023) Do not use 19.35 since only the direction of the biconditional used here holds in intuitionistic logic. (Proof modification is discouraged.)

	Ref	Expression
Assertion	bj-cbveximt	|- ( A. x E. y ch -> ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-exalim	|- ( A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( E. y ch -> ( A. y ph -> E. y ps ) ) )
2	1	alimi	|- ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> A. x ( E. y ch -> ( A. y ph -> E. y ps ) ) )
3		bj-alexim	|- ( A. x ( E. y ch -> ( A. y ph -> E. y ps ) ) -> ( A. x E. y ch -> ( E. x A. y ph -> E. x E. y ps ) ) )
4	2 3	syl	|- ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x E. y ch -> ( E. x A. y ph -> E. x E. y ps ) ) )
5		exim	|- ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( E. x ph -> E. x A. y ph ) )
6		imim2	|- ( ( E. x A. y ph -> E. x E. y ps ) -> ( ( E. x ph -> E. x A. y ph ) -> ( E. x ph -> E. x E. y ps ) ) )
7		imim1	|- ( ( E. x ph -> E. x E. y ps ) -> ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) )
8	5 6 7	syl56	|- ( ( E. x A. y ph -> E. x E. y ps ) -> ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) ) )
9	4 8	syl6com	|- ( A. x E. y ch -> ( A. x A. y ( ch -> ( ph -> ps ) ) -> ( A. x ( ph -> A. y ph ) -> ( ( E. x E. y ps -> E. y ps ) -> ( E. x ph -> E. y ps ) ) ) ) )