Theorem bj-inrab

Description: Generalization of inrab . (Contributed by BJ, 21-Apr-2019)

	Ref	Expression
Assertion	bj-inrab	|- ( { x e. A | ph } i^i { x e. B | ps } ) = { x e. ( A i^i B ) | ( ph /\ ps ) }

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4	|- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( x e. B /\ ps ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
2		elin	|- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) )
3	2	anbi1i	|- ( ( x e. ( A i^i B ) /\ ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
4	1 3	bitr4i	|- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( x e. B /\ ps ) ) <-> ( x e. ( A i^i B ) /\ ( ph /\ ps ) ) )
5	4	abbii	|- { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( x e. B /\ ps ) ) } = { x | ( x e. ( A i^i B ) /\ ( ph /\ ps ) ) }
6		df-rab	|- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
7		df-rab	|- { x e. B | ps } = { x | ( x e. B /\ ps ) }
8	6 7	ineq12i	|- ( { x e. A | ph } i^i { x e. B | ps } ) = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } i^i { x | ( x e. B /\ ps ) } )
9		inab	|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } i^i { x | ( x e. B /\ ps ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( x e. B /\ ps ) ) }
10	8 9	eqtri	|- ( { x e. A | ph } i^i { x e. B | ps } ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( x e. B /\ ps ) ) }
11		df-rab	|- { x e. ( A i^i B ) | ( ph /\ ps ) } = { x | ( x e. ( A i^i B ) /\ ( ph /\ ps ) ) }
12	5 10 11	3eqtr4i	|- ( { x e. A | ph } i^i { x e. B | ps } ) = { x e. ( A i^i B ) | ( ph /\ ps ) }