Theorem bj-inrab

Description: Generalization of inrab . (Contributed by BJ, 21-Apr-2019)

	Ref	Expression
Assertion	bj-inrab	⊢ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∩ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓 } ) = { 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∣ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) }

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) )
2		elin	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
3	2	anbi1i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) )
4	1 3	bitr4i	⊢ ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) )
5	4	abbii	⊢ { 𝑥 ∣ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) } = { 𝑥 ∣ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) }
6		df-rab	⊢ { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } = { 𝑥 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) }
7		df-rab	⊢ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓 } = { 𝑥 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) }
8	6 7	ineq12i	⊢ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∩ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓 } ) = ( { 𝑥 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) } ∩ { 𝑥 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) } )
9		inab	⊢ ( { 𝑥 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) } ∩ { 𝑥 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) } ) = { 𝑥 ∣ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) }
10	8 9	eqtri	⊢ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∩ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓 } ) = { 𝑥 ∣ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜓 ) ) }
11		df-rab	⊢ { 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∣ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) } = { 𝑥 ∣ ( 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) }
12	5 10 11	3eqtr4i	⊢ ( { 𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜑 } ∩ { 𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝜓 } ) = { 𝑥 ∈ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∣ ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) }