Theorem inrab

Description: Intersection of two restricted class abstractions. (Contributed by NM, 1-Sep-2006)

	Ref	Expression
Assertion	inrab	|- ( { x e. A | ph } i^i { x e. A | ps } ) = { x e. A | ( ph /\ ps ) }

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab	|- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) }
2		df-rab	|- { x e. A | ps } = { x | ( x e. A /\ ps ) }
3	1 2	ineq12i	|- ( { x e. A | ph } i^i { x e. A | ps } ) = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } i^i { x | ( x e. A /\ ps ) } )
4		df-rab	|- { x e. A | ( ph /\ ps ) } = { x | ( x e. A /\ ( ph /\ ps ) ) }
5		inab	|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } i^i { x | ( x e. A /\ ps ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( x e. A /\ ps ) ) }
6		anandi	|- ( ( x e. A /\ ( ph /\ ps ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( x e. A /\ ps ) ) )
7	6	abbii	|- { x | ( x e. A /\ ( ph /\ ps ) ) } = { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ ( x e. A /\ ps ) ) }
8	5 7	eqtr4i	|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } i^i { x | ( x e. A /\ ps ) } ) = { x | ( x e. A /\ ( ph /\ ps ) ) }
9	4 8	eqtr4i	|- { x e. A | ( ph /\ ps ) } = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } i^i { x | ( x e. A /\ ps ) } )
10	3 9	eqtr4i	|- ( { x e. A | ph } i^i { x e. A | ps } ) = { x e. A | ( ph /\ ps ) }