Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-rab |
|- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) } |
2 |
|
abid1 |
|- B = { x | x e. B } |
3 |
1 2
|
ineq12i |
|- ( { x e. A | ph } i^i B ) = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } i^i { x | x e. B } ) |
4 |
|
df-rab |
|- { x e. ( A i^i B ) | ph } = { x | ( x e. ( A i^i B ) /\ ph ) } |
5 |
|
inab |
|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } i^i { x | x e. B } ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ x e. B ) } |
6 |
|
elin |
|- ( x e. ( A i^i B ) <-> ( x e. A /\ x e. B ) ) |
7 |
6
|
anbi1i |
|- ( ( x e. ( A i^i B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ph ) ) |
8 |
|
an32 |
|- ( ( ( x e. A /\ x e. B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ x e. B ) ) |
9 |
7 8
|
bitri |
|- ( ( x e. ( A i^i B ) /\ ph ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ x e. B ) ) |
10 |
9
|
abbii |
|- { x | ( x e. ( A i^i B ) /\ ph ) } = { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ x e. B ) } |
11 |
5 10
|
eqtr4i |
|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } i^i { x | x e. B } ) = { x | ( x e. ( A i^i B ) /\ ph ) } |
12 |
4 11
|
eqtr4i |
|- { x e. ( A i^i B ) | ph } = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } i^i { x | x e. B } ) |
13 |
3 12
|
eqtr4i |
|- ( { x e. A | ph } i^i B ) = { x e. ( A i^i B ) | ph } |