Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-rab |
|- { x e. A | ph } = { x | ( x e. A /\ ph ) } |
2 |
|
df-rab |
|- { x e. A | ps } = { x | ( x e. A /\ ps ) } |
3 |
1 2
|
difeq12i |
|- ( { x e. A | ph } \ { x e. A | ps } ) = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } \ { x | ( x e. A /\ ps ) } ) |
4 |
|
df-rab |
|- { x e. A | ( ph /\ -. ps ) } = { x | ( x e. A /\ ( ph /\ -. ps ) ) } |
5 |
|
difab |
|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } \ { x | ( x e. A /\ ps ) } ) = { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) } |
6 |
|
anass |
|- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ps ) <-> ( x e. A /\ ( ph /\ -. ps ) ) ) |
7 |
|
simpr |
|- ( ( x e. A /\ ps ) -> ps ) |
8 |
7
|
con3i |
|- ( -. ps -> -. ( x e. A /\ ps ) ) |
9 |
8
|
anim2i |
|- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ps ) -> ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) ) |
10 |
|
pm3.2 |
|- ( x e. A -> ( ps -> ( x e. A /\ ps ) ) ) |
11 |
10
|
adantr |
|- ( ( x e. A /\ ph ) -> ( ps -> ( x e. A /\ ps ) ) ) |
12 |
11
|
con3d |
|- ( ( x e. A /\ ph ) -> ( -. ( x e. A /\ ps ) -> -. ps ) ) |
13 |
12
|
imdistani |
|- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) -> ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ps ) ) |
14 |
9 13
|
impbii |
|- ( ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ps ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) ) |
15 |
6 14
|
bitr3i |
|- ( ( x e. A /\ ( ph /\ -. ps ) ) <-> ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) ) |
16 |
15
|
abbii |
|- { x | ( x e. A /\ ( ph /\ -. ps ) ) } = { x | ( ( x e. A /\ ph ) /\ -. ( x e. A /\ ps ) ) } |
17 |
5 16
|
eqtr4i |
|- ( { x | ( x e. A /\ ph ) } \ { x | ( x e. A /\ ps ) } ) = { x | ( x e. A /\ ( ph /\ -. ps ) ) } |
18 |
4 17
|
eqtr4i |
|- { x e. A | ( ph /\ -. ps ) } = ( { x | ( x e. A /\ ph ) } \ { x | ( x e. A /\ ps ) } ) |
19 |
3 18
|
eqtr4i |
|- ( { x e. A | ph } \ { x e. A | ps } ) = { x e. A | ( ph /\ -. ps ) } |