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Theorem bnj1493

Description: Technical lemma for bnj60 . This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses bnj1493.1 
|- B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d _pred ( x , A , R ) C_ d ) }
bnj1493.2 
|- Y = <. x , ( f |` _pred ( x , A , R ) ) >.
bnj1493.3 
|- C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
Assertion bnj1493 
|- ( R _FrSe A -> A. x e. A E. f e. C dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 bnj1493.1 
 |-  B = { d | ( d C_ A /\ A. x e. d _pred ( x , A , R ) C_ d ) }
2 bnj1493.2 
 |-  Y = <. x , ( f |` _pred ( x , A , R ) ) >.
3 bnj1493.3 
 |-  C = { f | E. d e. B ( f Fn d /\ A. x e. d ( f ` x ) = ( G ` Y ) ) }
4 biid 
 |-  ( ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) <-> ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) )
5 eqid 
 |-  { x e. A | -. E. f ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } = { x e. A | -. E. f ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) }
6 biid 
 |-  ( ( R _FrSe A /\ { x e. A | -. E. f ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } =/= (/) ) <-> ( R _FrSe A /\ { x e. A | -. E. f ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } =/= (/) ) )
7 biid 
 |-  ( ( ( R _FrSe A /\ { x e. A | -. E. f ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } =/= (/) ) /\ x e. { x e. A | -. E. f ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } /\ A. y e. { x e. A | -. E. f ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } -. y R x ) <-> ( ( R _FrSe A /\ { x e. A | -. E. f ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } =/= (/) ) /\ x e. { x e. A | -. E. f ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } /\ A. y e. { x e. A | -. E. f ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } -. y R x ) )
8 biid 
 |-  ( [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) <-> [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) )
9 eqid 
 |-  { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } = { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) }
10 eqid 
 |-  U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } = U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) }
11 eqid 
 |-  <. x , ( U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } |` _pred ( x , A , R ) ) >. = <. x , ( U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } |` _pred ( x , A , R ) ) >.
12 eqid 
 |-  ( U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } u. { <. x , ( G ` <. x , ( U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } |` _pred ( x , A , R ) ) >. ) >. } ) = ( U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } u. { <. x , ( G ` <. x , ( U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } |` _pred ( x , A , R ) ) >. ) >. } )
13 eqid 
 |-  <. z , ( ( U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } u. { <. x , ( G ` <. x , ( U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } |` _pred ( x , A , R ) ) >. ) >. } ) |` _pred ( z , A , R ) ) >. = <. z , ( ( U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } u. { <. x , ( G ` <. x , ( U. { f | E. y e. _pred ( x , A , R ) [. y / x ]. ( f e. C /\ dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) ) } |` _pred ( x , A , R ) ) >. ) >. } ) |` _pred ( z , A , R ) ) >.
14 eqid 
 |-  ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) )
15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 bnj1312 
 |-  ( R _FrSe A -> A. x e. A E. f e. C dom f = ( { x } u. _trCl ( x , A , R ) ) )