Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cbvitg.1 |
|- ( x = y -> B = C ) |
2 |
1
|
fvoveq1d |
|- ( x = y -> ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) |
3 |
|
eleq1w |
|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) ) |
4 |
3
|
anbi1d |
|- ( x = y -> ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) <-> ( y e. A /\ 0 <_ v ) ) ) |
5 |
4
|
ifbid |
|- ( x = y -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) = if ( ( y e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) |
6 |
2 5
|
csbeq12dv |
|- ( x = y -> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) = [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) |
7 |
6
|
cbvmptv |
|- ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) = ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) |
8 |
7
|
fveq2i |
|- ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) |
9 |
8
|
oveq2i |
|- ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) |
10 |
9
|
a1i |
|- ( T. -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) ) |
11 |
10
|
sumeq2sdv |
|- ( T. -> sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) ) |
12 |
11
|
mptru |
|- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) |
13 |
|
df-itg |
|- S. A B _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) |
14 |
|
df-itg |
|- S. A C _d y = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( y e. RR |-> [_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) / v ]_ if ( ( y e. A /\ 0 <_ v ) , v , 0 ) ) ) ) |
15 |
12 13 14
|
3eqtr4i |
|- S. A B _d x = S. A C _d y |