Theorem cbvitgv

Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014)

	Ref	Expression
Hypothesis	cbvitg.1	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶 )
Assertion	cbvitgv	⊢ ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑦

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvitg.1	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = 𝐶 )
2	1	fvoveq1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) = ( ℜ ‘ ( 𝐶 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) )
3		eleq1w	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴 ) )
4	3	anbi1d	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) ↔ ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) ) )
5	4	ifbid	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) = if ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) )
6	2 5	csbeq12dv	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) = ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐶 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) )
7	6	cbvmptv	⊢ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) = ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐶 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) )
8	7	fveq2i	⊢ ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) = ( ∫2 ‘ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐶 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) )
9	8	oveq2i	⊢ ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) ) = ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐶 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) )
10	9	a1i	⊢ ( ⊤ → ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) ) = ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐶 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) ) )
11	10	sumeq2sdv	⊢ ( ⊤ → Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐶 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) ) )
12	11	mptru	⊢ Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) ) = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐶 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) )
13		df-itg	⊢ ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑥 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐵 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) )
14		df-itg	⊢ ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑦 = Σ 𝑘 ∈ ( 0 ... 3 ) ( ( i ↑ 𝑘 ) · ( ∫2 ‘ ( 𝑦 ∈ ℝ ↦ ⦋ ( ℜ ‘ ( 𝐶 / ( i ↑ 𝑘 ) ) ) / 𝑣 ⦌ if ( ( 𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝑣 ) , 𝑣 , 0 ) ) ) )
15	12 13 14	3eqtr4i	⊢ ∫ 𝐴 𝐵 d 𝑥 = ∫ 𝐴 𝐶 d 𝑦