Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eqid |
|- RR = RR |
2 |
|
simpl |
|- ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) -> x e. A ) |
3 |
2
|
con3i |
|- ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) ) |
4 |
3
|
iffalsed |
|- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = 0 ) |
5 |
|
simpl |
|- ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) -> x e. A ) |
6 |
5
|
con3i |
|- ( -. x e. A -> -. ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) ) |
7 |
6
|
iffalsed |
|- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = 0 ) |
8 |
4 7
|
eqtr4d |
|- ( -. x e. A -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) |
9 |
|
fvoveq1 |
|- ( B = C -> ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) |
10 |
9
|
breq2d |
|- ( B = C -> ( 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) <-> 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) ) |
11 |
10
|
anbi2d |
|- ( B = C -> ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) ) ) |
12 |
11 9
|
ifbieq1d |
|- ( B = C -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) |
13 |
8 12
|
ja |
|- ( ( x e. A -> B = C ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) |
14 |
13
|
a1d |
|- ( ( x e. A -> B = C ) -> ( x e. RR -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) |
15 |
14
|
ralimi2 |
|- ( A. x e. A B = C -> A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) |
16 |
|
mpteq12 |
|- ( ( RR = RR /\ A. x e. RR if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) |
17 |
1 15 16
|
sylancr |
|- ( A. x e. A B = C -> ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) |
18 |
17
|
fveq2d |
|- ( A. x e. A B = C -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) |
19 |
18
|
oveq2d |
|- ( A. x e. A B = C -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) ) |
20 |
19
|
sumeq2sdv |
|- ( A. x e. A B = C -> sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) ) |
21 |
|
eqid |
|- ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) |
22 |
21
|
dfitg |
|- S. A B _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) |
23 |
|
eqid |
|- ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) |
24 |
23
|
dfitg |
|- S. A C _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( C / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) |
25 |
20 22 24
|
3eqtr4g |
|- ( A. x e. A B = C -> S. A B _d x = S. A C _d x ) |