Theorem cbvral2vw

Description: Change bound variables of double restricted universal quantification, using implicit substitution. Version of cbvral2v with a disjoint variable condition, which does not require ax-13 . (Contributed by NM, 10-Aug-2004) (Revised by Gino Giotto, 10-Jan-2024)

	Ref	Expression
Hypotheses	cbvral2vw.1	|- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
	cbvral2vw.2	|- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )
Assertion	cbvral2vw	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvral2vw.1	|- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
2		cbvral2vw.2	|- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )
3	1	ralbidv	|- ( x = z -> ( A. y e. B ph <-> A. y e. B ch ) )
4	3	cbvralvw	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. y e. B ch )
5	2	cbvralvw	|- ( A. y e. B ch <-> A. w e. B ps )
6	5	ralbii	|- ( A. z e. A A. y e. B ch <-> A. z e. A A. w e. B ps )
7	4 6	bitri	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )