Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme19.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme19.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme19.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme19.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme19.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme19.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
cdleme19.f |
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
8 |
|
cdleme19.g |
|- G = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
cdleme19.d |
|- D = ( ( R .\/ S ) ./\ W ) |
10 |
|
cdleme19.y |
|- Y = ( ( R .\/ T ) ./\ W ) |
11 |
|
cdleme20.v |
|- V = ( ( S .\/ T ) ./\ W ) |
12 |
|
cdleme20.n |
|- N = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ D ) ) |
13 |
|
cdleme20.o |
|- O = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( G .\/ Y ) ) |
14 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) |
15 |
|
simpl22 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) |
16 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) |
17 |
|
simp21l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> R e. A ) |
18 |
17
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) -> R e. A ) |
19 |
|
simpl31 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) |
20 |
|
simp321 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) |
21 |
20
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) |
22 |
|
simp322 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) |
23 |
22
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) |
24 |
21 23
|
jca |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
25 |
|
simp323 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) ) |
26 |
25
|
anim1i |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) ) |
27 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13
|
cdleme19f |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) /\ R e. A ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> N = O ) |
28 |
14 15 16 18 19 24 26 27
|
syl133anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ R .<_ ( S .\/ T ) ) -> N = O ) |
29 |
|
simpl11 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
30 |
|
simpl12 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
31 |
|
simpl13 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
32 |
|
simpl21 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) |
33 |
|
simpl22 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) |
34 |
|
simpl23 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) |
35 |
|
simpl31 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( P =/= Q /\ S =/= T ) ) |
36 |
|
simpl32 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
37 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> -. R .<_ ( S .\/ T ) ) |
38 |
|
simpl33 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> -. U .<_ ( S .\/ T ) ) |
39 |
37 38
|
jca |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) |
40 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
|
cdleme20m |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. R .<_ ( S .\/ T ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) ) -> N = O ) |
41 |
29 30 31 32 33 34 35 36 39 40
|
syl333anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) /\ -. R .<_ ( S .\/ T ) ) -> N = O ) |
42 |
28 41
|
pm2.61dan |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( ( P =/= Q /\ S =/= T ) /\ ( -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ R .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. U .<_ ( S .\/ T ) ) ) -> N = O ) |