Theorem cdlemefr32fva1

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Mar-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemefr27.b	|- B = ( Base ` K )
	cdlemefr27.l	|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemefr27.j	|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemefr27.m	|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemefr27.a	|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemefr27.h	|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemefr27.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
	cdlemefr27.c	|- C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
	cdlemefr27.n	|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
	cdleme29fr.o	|- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
	cdleme29fr.f	|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
Assertion	cdlemefr32fva1	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( F ` R ) = [_ R / s ]_ N )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemefr27.b	|- B = ( Base ` K )
2		cdlemefr27.l	|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemefr27.j	|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemefr27.m	|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemefr27.a	|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemefr27.h	|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemefr27.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8		cdlemefr27.c	|- C = ( ( s .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ s ) ./\ W ) ) )
9		cdlemefr27.n	|- N = if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , I , C )
10		cdleme29fr.o	|- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) )
11		cdleme29fr.f	|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) )
12		breq1	|- ( s = R -> ( s .<_ ( P .\/ Q ) <-> R .<_ ( P .\/ Q ) ) )
13	12	notbid	|- ( s = R -> ( -. s .<_ ( P .\/ Q ) <-> -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) )
14		simp11	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15		simp12l	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P e. A )
16		simp13l	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> Q e. A )
17		simp3l	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> s e. A )
18		simp3rr	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. s .<_ ( P .\/ Q ) )
19		simp2	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P =/= Q )
20	1 2 3 4 5 6 7 8 9	cdlemefr27cl	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) /\ ( s e. A /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) /\ P =/= Q ) ) -> N e. B )
21	14 15 16 17 18 19 20	syl33anc	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ -. s .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> N e. B )
22	1 2 3 4 5 6 7 8 9	cdlemefr32snb	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> [_ R / s ]_ N e. B )
23	1 2 3 4 5 6 13 21 22 10 11	cdlemefrs32fva1	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( F ` R ) = [_ R / s ]_ N )