Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemefrs27.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemefrs27.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemefrs27.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemefrs27.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdlemefrs27.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdlemefrs27.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdlemefrs27.eq |
|- ( s = R -> ( ph <-> ps ) ) |
8 |
|
cdlemefrs27.nb |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B ) |
9 |
|
cdlemefrs27.rnb |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / s ]_ N e. B ) |
10 |
|
cdleme29frs.o |
|- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) |
11 |
|
cdleme29frs.f |
|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , O , x ) ) |
12 |
|
simp2rl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> R e. A ) |
13 |
1 5
|
atbase |
|- ( R e. A -> R e. B ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> R e. B ) |
15 |
|
simp2l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> P =/= Q ) |
16 |
|
simp2rr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> -. R .<_ W ) |
17 |
10 11
|
cdleme31fv1s |
|- ( ( R e. B /\ ( P =/= Q /\ -. R .<_ W ) ) -> ( F ` R ) = [_ R / x ]_ O ) |
18 |
14 15 16 17
|
syl12anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( F ` R ) = [_ R / x ]_ O ) |
19 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
|
cdlemefrs32fva |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / x ]_ O = [_ R / s ]_ N ) |
20 |
18 19
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( F ` R ) = [_ R / s ]_ N ) |