Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemefrs27.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
cdlemefrs27.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
cdlemefrs27.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
cdlemefrs27.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
cdlemefrs27.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
6 |
|
cdlemefrs27.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
7 |
|
cdlemefrs27.eq |
|- ( s = R -> ( ph <-> ps ) ) |
8 |
|
cdlemefrs27.nb |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B ) |
9 |
|
cdlemefrs27.rnb |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / s ]_ N e. B ) |
10 |
|
cdleme29frs.o |
|- O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( N .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) |
11 |
|
simp2rl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> R e. A ) |
12 |
1 5
|
atbase |
|- ( R e. A -> R e. B ) |
13 |
|
eqid |
|- ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) |
14 |
10 13
|
cdleme31so |
|- ( R e. B -> [_ R / x ]_ O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) ) |
15 |
11 12 14
|
3syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / x ]_ O = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) ) |
16 |
|
ssidd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> B C_ B ) |
17 |
|
simpll |
|- ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> -. s .<_ W ) |
18 |
|
simpr |
|- ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) |
19 |
17 18
|
jca |
|- ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) |
20 |
19
|
imim1i |
|- ( ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) |
21 |
20
|
ralimi |
|- ( A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) -> A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) |
22 |
21
|
rgenw |
|- A. z e. B ( A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) -> A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) |
23 |
22
|
a1i |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> A. z e. B ( A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) -> A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) ) |
24 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
cdlemefrs29bpre1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> E. z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) |
25 |
|
simpl11 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ s e. A ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
26 |
|
simpl2r |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ s e. A ) -> ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) |
27 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ s e. A ) -> ps ) |
28 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ s e. A ) -> s e. A ) |
29 |
1 2 3 4 5 6 7
|
cdlemefrs29pre00 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ps ) /\ s e. A ) -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) <-> ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) ) |
30 |
25 26 27 28 29
|
syl31anc |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ s e. A ) -> ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) <-> ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) ) ) |
31 |
30
|
imbi1d |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ s e. A ) -> ( ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) ) |
32 |
31
|
ralbidva |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) ) |
33 |
32
|
rexbidv |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( E. z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> E. z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) ) |
34 |
24 33
|
mpbid |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> E. z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) |
35 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
cdlemefrs29cpre1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> E! z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) |
36 |
|
riotass2 |
|- ( ( ( B C_ B /\ A. z e. B ( A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) -> A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) ) /\ ( E. z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) /\ E! z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) ) -> ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) ) |
37 |
16 23 34 35 36
|
syl22anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) = ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) ) |
38 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdlemefrs29bpre0 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) ) |
39 |
38
|
adantr |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) /\ z e. B ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) ) |
40 |
9 39
|
riota5 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) ) = [_ R / s ]_ N ) |
41 |
15 37 40
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / x ]_ O = [_ R / s ]_ N ) |