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Theorem cdlemefrs29bpre1

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Mar-2013)

		Ref	Expression
	Hypotheses	cdlemefrs27.b	\|- B = ( Base ` K )
		cdlemefrs27.l	\|- .<_ = ( le ` K )
		cdlemefrs27.j	\|- .\/ = ( join ` K )
		cdlemefrs27.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
		cdlemefrs27.a	\|- A = ( Atoms ` K )
		cdlemefrs27.h	\|- H = ( LHyp ` K )
		cdlemefrs27.eq	\|- ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
		cdlemefrs27.nb	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
		cdlemefrs27.rnb	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / s ]_ N e. B )
	Assertion	cdlemefrs29bpre1	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> E. z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemefrs27.b	\|- B = ( Base ` K )
2		cdlemefrs27.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemefrs27.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemefrs27.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemefrs27.a	\|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemefrs27.h	\|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemefrs27.eq	\|- ( s = R -> ( ph <-> ps ) )
8		cdlemefrs27.nb	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ P =/= Q /\ ( s e. A /\ ( -. s .<_ W /\ ph ) ) ) -> N e. B )
9		cdlemefrs27.rnb	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> [_ R / s ]_ N e. B )
10	1 2 3 4 5 6 7 8	cdlemefrs29bpre0	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> z = [_ R / s ]_ N ) )
11	10	rexbidv	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( E. z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> E. z e. B z = [_ R / s ]_ N ) )
12		risset	\|- ( [_ R / s ]_ N e. B <-> E. z e. B z = [_ R / s ]_ N )
13	11 12	bitr4di	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> ( E. z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) <-> [_ R / s ]_ N e. B ) )
14	9 13	mpbird	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) /\ ps ) -> E. z e. B A. s e. A ( ( ( -. s .<_ W /\ ph ) /\ ( s .\/ ( R ./\ W ) ) = R ) -> z = ( N .\/ ( R ./\ W ) ) ) )