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Theorem cdlemefrs29bpre1

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 29-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemefrs27.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemefrs27.eq ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑𝜓 ) )
cdlemefrs27.nb ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 𝑊𝜑 ) ) ) → 𝑁𝐵 )
cdlemefrs27.rnb ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝑅 / 𝑠 𝑁𝐵 )
Assertion cdlemefrs29bpre1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ∃ 𝑧𝐵𝑠𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 𝑊𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ( 𝑅 𝑊 ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemefrs27.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemefrs27.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemefrs27.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemefrs27.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemefrs27.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemefrs27.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemefrs27.eq ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑𝜓 ) )
8 cdlemefrs27.nb ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 𝑊𝜑 ) ) ) → 𝑁𝐵 )
9 cdlemefrs27.rnb ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → 𝑅 / 𝑠 𝑁𝐵 )
10 1 2 3 4 5 6 7 8 cdlemefrs29bpre0 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∀ 𝑠𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 𝑊𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ( 𝑅 𝑊 ) ) ) ↔ 𝑧 = 𝑅 / 𝑠 𝑁 ) )
11 10 rexbidv ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∃ 𝑧𝐵𝑠𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 𝑊𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ( 𝑅 𝑊 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧𝐵 𝑧 = 𝑅 / 𝑠 𝑁 ) )
12 risset ( 𝑅 / 𝑠 𝑁𝐵 ↔ ∃ 𝑧𝐵 𝑧 = 𝑅 / 𝑠 𝑁 )
13 11 12 bitr4di ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∃ 𝑧𝐵𝑠𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 𝑊𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ( 𝑅 𝑊 ) ) ) ↔ 𝑅 / 𝑠 𝑁𝐵 ) )
14 9 13 mpbird ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃𝑄 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ∃ 𝑧𝐵𝑠𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 𝑊𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ( 𝑅 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ( 𝑅 𝑊 ) ) ) )