Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemefrs27.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdlemefrs27.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cdlemefrs27.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
cdlemefrs27.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
cdlemefrs27.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
cdlemefrs27.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
7 |
|
cdlemefrs27.eq |
⊢ ( 𝑠 = 𝑅 → ( 𝜑 ↔ 𝜓 ) ) |
8 |
|
cdlemefrs27.nb |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑠 ∈ 𝐴 ∧ ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ) ) → 𝑁 ∈ 𝐵 ) |
9 |
|
cdlemefrs27.rnb |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 ) |
10 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
cdlemefrs29bpre0 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ 𝑧 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ) ) |
11 |
10
|
rexbidv |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ) ) |
12 |
|
risset |
⊢ ( ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 𝑧 = ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ) |
13 |
11 12
|
bitr4di |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ( ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ↔ ⦋ 𝑅 / 𝑠 ⦌ 𝑁 ∈ 𝐵 ) ) |
14 |
9 13
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ≤ 𝑊 ) ) ∧ 𝜓 ) → ∃ 𝑧 ∈ 𝐵 ∀ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( ( ¬ 𝑠 ≤ 𝑊 ∧ 𝜑 ) ∧ ( 𝑠 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) = 𝑅 ) → 𝑧 = ( 𝑁 ∨ ( 𝑅 ∧ 𝑊 ) ) ) ) |