Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg12.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemg12.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdlemg12.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdlemg12.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdlemg12.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdlemg12.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
7 |
|
cdlemg12b.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
8 |
1 2 3 4 5 6 7
|
cdlemg12b |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) |
9 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> K e. HL ) |
10 |
|
simp21l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> P e. A ) |
11 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
12 |
|
simp31 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> G e. T ) |
13 |
1 4 5 6
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ P e. A ) -> ( G ` P ) e. A ) |
14 |
11 12 10 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` P ) e. A ) |
15 |
|
simp23 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> F e. T ) |
16 |
1 4 5 6
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( G ` P ) e. A ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A ) |
17 |
11 15 14 16
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) e. A ) |
18 |
|
simp22l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> Q e. A ) |
19 |
1 4 5 6
|
ltrnat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ Q e. A ) -> ( G ` Q ) e. A ) |
20 |
11 12 18 19
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( G ` Q ) e. A ) |
21 |
1 4 5 6
|
ltrncoat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ Q e. A ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A ) |
22 |
11 15 12 18 21
|
syl121anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) e. A ) |
23 |
1 2 3 4
|
dalaw |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ ( G ` P ) e. A /\ ( F ` ( G ` P ) ) e. A ) /\ ( Q e. A /\ ( G ` Q ) e. A /\ ( F ` ( G ` Q ) ) e. A ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( ( G ` Q ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) .\/ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ P ) ./\ ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ Q ) ) ) ) ) |
24 |
9 10 14 17 18 20 22 23
|
syl133anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( ( G ` Q ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) .\/ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ P ) ./\ ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ Q ) ) ) ) ) |
25 |
8 24
|
mpd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ P =/= Q /\ -. ( R ` G ) .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> ( ( P .\/ ( G ` P ) ) ./\ ( Q .\/ ( G ` Q ) ) ) .<_ ( ( ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ./\ ( ( G ` Q ) .\/ ( F ` ( G ` Q ) ) ) ) .\/ ( ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ P ) ./\ ( ( F ` ( G ` Q ) ) .\/ Q ) ) ) ) |