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Theorem cdlemg4e

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 25-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg4.l
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg4.a
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg4.h
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg4.t
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg4.r
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemg4.j
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg4b.v
|- V = ( R ` G )
cdlemg4.m
|- ./\ = ( meet ` K )
Assertion cdlemg4e
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = ( ( ( G ` Q ) .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg4.l
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg4.a
 |-  A = ( Atoms ` K )
3 cdlemg4.h
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 cdlemg4.t
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5 cdlemg4.r
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
6 cdlemg4.j
 |-  .\/ = ( join ` K )
7 cdlemg4b.v
 |-  V = ( R ` G )
8 cdlemg4.m
 |-  ./\ = ( meet ` K )
9 simp1
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
10 simp23
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> F e. T )
11 simp31
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> G e. T )
12 simp21
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
13 1 2 3 4 ltrnel
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
14 9 11 12 13 syl3anc
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
15 simp22
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
16 1 2 3 4 ltrnel
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) )
17 9 11 15 16 syl3anc
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) )
18 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg4d
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. ( G ` Q ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) )
19 1 6 8 2 3 4 5 cdlemc
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) /\ ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) ) /\ -. ( G ` Q ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = ( ( ( G ` Q ) .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) ) ) )
20 9 10 14 17 18 19 syl131anc
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = ( ( ( G ` Q ) .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) ) ) )