Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg4.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdlemg4.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
3 |
|
cdlemg4.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
cdlemg4.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
5 |
|
cdlemg4.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
6 |
|
cdlemg4.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
7 |
|
cdlemg4b.v |
|- V = ( R ` G ) |
8 |
|
cdlemg4.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
9 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
10 |
|
simp23 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> F e. T ) |
11 |
|
simp31 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> G e. T ) |
12 |
|
simp21 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
13 |
1 2 3 4
|
ltrnel |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) |
14 |
9 11 12 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) |
15 |
|
simp22 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
16 |
1 2 3 4
|
ltrnel |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) ) |
17 |
9 11 15 16
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) ) |
18 |
1 2 3 4 5 6 7
|
cdlemg4d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. ( G ` Q ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ) |
19 |
1 6 8 2 3 4 5
|
cdlemc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) /\ ( ( G ` Q ) e. A /\ -. ( G ` Q ) .<_ W ) ) /\ -. ( G ` Q ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = ( ( ( G ` Q ) .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) ) ) ) |
20 |
9 10 14 17 18 19
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` Q ) ) = ( ( ( G ` Q ) .\/ ( R ` F ) ) ./\ ( ( F ` ( G ` P ) ) .\/ ( ( ( G ` P ) .\/ ( G ` Q ) ) ./\ W ) ) ) ) |