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Theorem cdlemg4d

Description: TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 25-Apr-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg4.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemg4.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemg4.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemg4.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemg4.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemg4.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemg4b.v 
|- V = ( R ` G )
Assertion cdlemg4d 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. ( G ` Q ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg4.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdlemg4.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
3 cdlemg4.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
4 cdlemg4.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5 cdlemg4.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
6 cdlemg4.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
7 cdlemg4b.v 
 |-  V = ( R ` G )
8 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
10 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
11 simp31 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> G e. T )
12 simp32 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. Q .<_ ( P .\/ V ) )
13 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg4c 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ G e. T ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) ) -> -. ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) )
14 8 9 10 11 12 13 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) )
15 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> K e. HL )
16 simp21l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> P e. A )
17 1 2 3 4 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
18 17 simpld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( G ` P ) e. A )
19 8 11 9 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( G ` P ) e. A )
20 6 2 hlatjcom 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ ( G ` P ) e. A ) -> ( P .\/ ( G ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ P ) )
21 15 16 19 20 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P .\/ ( G ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ P ) )
22 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg4b1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ G e. T ) -> ( P .\/ V ) = ( P .\/ ( G ` P ) ) )
23 8 9 11 22 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( P .\/ V ) = ( P .\/ ( G ` P ) ) )
24 simp33 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( F ` ( G ` P ) ) = P )
25 24 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ P ) )
26 21 23 25 3eqtr4rd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) = ( P .\/ V ) )
27 26 breq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> ( ( G ` Q ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) <-> ( G ` Q ) .<_ ( P .\/ V ) ) )
28 14 27 mtbird 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ F e. T ) /\ ( G e. T /\ -. Q .<_ ( P .\/ V ) /\ ( F ` ( G ` P ) ) = P ) ) -> -. ( G ` Q ) .<_ ( ( G ` P ) .\/ ( F ` ( G ` P ) ) ) )