Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-cllaw |
|- clLaw = { <. o , m >. | A. x e. m A. y e. m ( x o y ) e. m } |
2 |
1
|
bropaex12 |
|- ( .o. clLaw M -> ( .o. e. _V /\ M e. _V ) ) |
3 |
|
iscllaw |
|- ( ( .o. e. _V /\ M e. _V ) -> ( .o. clLaw M <-> A. x e. M A. y e. M ( x .o. y ) e. M ) ) |
4 |
|
ovrspc2v |
|- ( ( ( X e. M /\ Y e. M ) /\ A. x e. M A. y e. M ( x .o. y ) e. M ) -> ( X .o. Y ) e. M ) |
5 |
4
|
expcom |
|- ( A. x e. M A. y e. M ( x .o. y ) e. M -> ( ( X e. M /\ Y e. M ) -> ( X .o. Y ) e. M ) ) |
6 |
3 5
|
syl6bi |
|- ( ( .o. e. _V /\ M e. _V ) -> ( .o. clLaw M -> ( ( X e. M /\ Y e. M ) -> ( X .o. Y ) e. M ) ) ) |
7 |
2 6
|
mpcom |
|- ( .o. clLaw M -> ( ( X e. M /\ Y e. M ) -> ( X .o. Y ) e. M ) ) |
8 |
7
|
3impib |
|- ( ( .o. clLaw M /\ X e. M /\ Y e. M ) -> ( X .o. Y ) e. M ) |