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Theorem cpm2mval

Description: The result of an inverse matrix transformation. (Contributed by AV, 12-Nov-2019) (Revised by AV, 14-Dec-2019)

Ref Expression
Hypotheses cpm2mfval.i 
|- I = ( N cPolyMatToMat R )
cpm2mfval.s 
|- S = ( N ConstPolyMat R )
Assertion cpm2mval 
|- ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. S ) -> ( I ` M ) = ( x e. N , y e. N |-> ( ( coe1 ` ( x M y ) ) ` 0 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cpm2mfval.i 
 |-  I = ( N cPolyMatToMat R )
2 cpm2mfval.s 
 |-  S = ( N ConstPolyMat R )
3 1 2 cpm2mfval 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V ) -> I = ( m e. S |-> ( x e. N , y e. N |-> ( ( coe1 ` ( x m y ) ) ` 0 ) ) ) )
4 3 3adant3 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. S ) -> I = ( m e. S |-> ( x e. N , y e. N |-> ( ( coe1 ` ( x m y ) ) ` 0 ) ) ) )
5 oveq 
 |-  ( m = M -> ( x m y ) = ( x M y ) )
6 5 fveq2d 
 |-  ( m = M -> ( coe1 ` ( x m y ) ) = ( coe1 ` ( x M y ) ) )
7 6 fveq1d 
 |-  ( m = M -> ( ( coe1 ` ( x m y ) ) ` 0 ) = ( ( coe1 ` ( x M y ) ) ` 0 ) )
8 7 mpoeq3dv 
 |-  ( m = M -> ( x e. N , y e. N |-> ( ( coe1 ` ( x m y ) ) ` 0 ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( ( coe1 ` ( x M y ) ) ` 0 ) ) )
9 8 adantl 
 |-  ( ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. S ) /\ m = M ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( ( coe1 ` ( x m y ) ) ` 0 ) ) = ( x e. N , y e. N |-> ( ( coe1 ` ( x M y ) ) ` 0 ) ) )
10 simp3 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. S ) -> M e. S )
11 simp1 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. S ) -> N e. Fin )
12 mpoexga 
 |-  ( ( N e. Fin /\ N e. Fin ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( ( coe1 ` ( x M y ) ) ` 0 ) ) e. _V )
13 11 11 12 syl2anc 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. S ) -> ( x e. N , y e. N |-> ( ( coe1 ` ( x M y ) ) ` 0 ) ) e. _V )
14 4 9 10 13 fvmptd 
 |-  ( ( N e. Fin /\ R e. V /\ M e. S ) -> ( I ` M ) = ( x e. N , y e. N |-> ( ( coe1 ` ( x M y ) ) ` 0 ) ) )