Metamath Proof Explorer

Theorem csbrngVD

Description: Virtual deduction proof of csbrn . The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. csbrn is csbrngVD without virtual deductions and was automatically derived from csbrngVD .

1:: |- (. A e. V ->. A e. V ).
2:1: |- (. A e. V ->. ( [. A / x ]. <. w ,. y >. e. B <-> [_ A / x ]_ <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
3:1: |- (. A e. V ->. [_ A / x ]_ <. w ,. y >. = <. w , y >. ).
4:3: |- (. A e. V ->. ( [_ A / x ]_ <. w ,. y >. e. [_ A / x ]_ B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
5:2,4: |- (. A e. V ->. ( [. A / x ]. <. w ,. y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
6:5: |- (. A e. V ->. A. w ( [. A / x ]. <. w ,. y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
7:6: |- (. A e. V ->. ( E. w [. A / x ]. <. w ,. y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
8:1: |- (. A e. V ->. ( E. w [. A / x ]. <. w ,. y >. e. B <-> [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B ) ).
9:7,8: |- (. A e. V ->. ( [. A / x ]. E. w <. w ,. y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
10:9: |- (. A e. V ->. A. y ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
11:10: |- (. A e. V ->. { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ).
12:1: |- (. A e. V ->. [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } ).
13:11,12: |- (. A e. V ->. [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ).
14:: |- ran B = { y | E. w <. w ,. y >. e. B }
15:14: |- A. x ran B = { y | E. w <. w ,. y >. e. B }
16:1,15: |- (. A e. V ->. [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } ).
17:13,16: |- (. A e. V ->. [_ A / x ]_ ran B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ).
18:: |- ran [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. w ,. y >. e. [_ A / x ]_ B }
19:17,18: |- (. A e. V ->. [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B ).
qed:19: |- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )
(Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion csbrngVD 
|- ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 idn1 
 |-  (. A e. V ->. A e. V ).
2 sbcel12 
 |-  ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> [_ A / x ]_ <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B )
3 2 a1i 
 |-  ( A e. V -> ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> [_ A / x ]_ <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
4 1 3 e1a 
 |-  (. A e. V ->. ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> [_ A / x ]_ <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
5 csbconstg 
 |-  ( A e. V -> [_ A / x ]_ <. w , y >. = <. w , y >. )
6 1 5 e1a 
 |-  (. A e. V ->. [_ A / x ]_ <. w , y >. = <. w , y >. ).
7 eleq1 
 |-  ( [_ A / x ]_ <. w , y >. = <. w , y >. -> ( [_ A / x ]_ <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
8 6 7 e1a 
 |-  (. A e. V ->. ( [_ A / x ]_ <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
9 bibi1 
 |-  ( ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> [_ A / x ]_ <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) -> ( ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) <-> ( [_ A / x ]_ <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ) )
10 9 biimprd 
 |-  ( ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> [_ A / x ]_ <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) -> ( ( [_ A / x ]_ <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) -> ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ) )
11 4 8 10 e11 
 |-  (. A e. V ->. ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
12 11 gen11 
 |-  (. A e. V ->. A. w ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
13 exbi 
 |-  ( A. w ( [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) -> ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
14 12 13 e1a 
 |-  (. A e. V ->. ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
15 sbcex2 
 |-  ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B )
16 15 a1i 
 |-  ( A e. V -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B ) )
17 16 bicomd 
 |-  ( A e. V -> ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B ) )
18 1 17 e1a 
 |-  (. A e. V ->. ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B ) ).
19 bitr3 
 |-  ( ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B ) -> ( ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ) )
20 19 com12 
 |-  ( ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) -> ( ( E. w [. A / x ]. <. w , y >. e. B <-> [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B ) -> ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ) )
21 14 18 20 e11 
 |-  (. A e. V ->. ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
22 21 gen11 
 |-  (. A e. V ->. A. y ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) ).
23 abbib 
 |-  ( { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } <-> A. y ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) )
24 23 biimpri 
 |-  ( A. y ( [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B <-> E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B ) -> { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } )
25 22 24 e1a 
 |-  (. A e. V ->. { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ).
26 csbab 
 |-  [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B }
27 26 a1i 
 |-  ( A e. V -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } )
28 1 27 e1a 
 |-  (. A e. V ->. [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } ).
29 eqeq2 
 |-  ( { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } -> ( [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } <-> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ) )
30 29 biimpd 
 |-  ( { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } -> ( [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | [. A / x ]. E. w <. w , y >. e. B } -> [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ) )
31 25 28 30 e11 
 |-  (. A e. V ->. [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ).
32 dfrn3 
 |-  ran B = { y | E. w <. w , y >. e. B }
33 32 ax-gen 
 |-  A. x ran B = { y | E. w <. w , y >. e. B }
34 csbeq2 
 |-  ( A. x ran B = { y | E. w <. w , y >. e. B } -> [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } )
35 34 a1i 
 |-  ( A e. V -> ( A. x ran B = { y | E. w <. w , y >. e. B } -> [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } ) )
36 1 33 35 e10 
 |-  (. A e. V ->. [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } ).
37 eqeq2 
 |-  ( [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } -> ( [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } <-> [_ A / x ]_ ran B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ) )
38 37 biimpd 
 |-  ( [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } -> ( [_ A / x ]_ ran B = [_ A / x ]_ { y | E. w <. w , y >. e. B } -> [_ A / x ]_ ran B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ) )
39 31 36 38 e11 
 |-  (. A e. V ->. [_ A / x ]_ ran B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ).
40 dfrn3 
 |-  ran [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B }
41 eqeq2 
 |-  ( ran [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } -> ( [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B <-> [_ A / x ]_ ran B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } ) )
42 41 biimprcd 
 |-  ( [_ A / x ]_ ran B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } -> ( ran [_ A / x ]_ B = { y | E. w <. w , y >. e. [_ A / x ]_ B } -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B ) )
43 39 40 42 e10 
 |-  (. A e. V ->. [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B ).
44 43 in1 
 |-  ( A e. V -> [_ A / x ]_ ran B = ran [_ A / x ]_ B )