Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dalem.ph |
|- ( ph <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) ) |
2 |
|
dalem.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dalem.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
dalem.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
dalem.ps |
|- ( ps <-> ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ -. c .<_ Y /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ Y /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) |
6 |
|
dalem34.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
7 |
|
dalem34.o |
|- O = ( LPlanes ` K ) |
8 |
|
dalem34.y |
|- Y = ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) |
9 |
|
dalem34.z |
|- Z = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) |
10 |
|
dalem34.i |
|- I = ( ( c .\/ R ) ./\ ( d .\/ U ) ) |
11 |
1 2 3 4 8 9
|
dalemrot |
|- ( ph -> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) ) |
12 |
11
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ph /\ Y = Z /\ ps ) -> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) ) |
13 |
1 2 3 4 8 9
|
dalemrotyz |
|- ( ( ph /\ Y = Z ) -> ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) = ( ( T .\/ U ) .\/ S ) ) |
14 |
13
|
3adant3 |
|- ( ( ph /\ Y = Z /\ ps ) -> ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) = ( ( T .\/ U ) .\/ S ) ) |
15 |
1 2 3 4 5 8
|
dalemrotps |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ -. c .<_ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) |
16 |
15
|
3adant2 |
|- ( ( ph /\ Y = Z /\ ps ) -> ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ -. c .<_ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) |
17 |
|
biid |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) ) |
18 |
|
biid |
|- ( ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ -. c .<_ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) <-> ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ -. c .<_ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) |
19 |
|
eqid |
|- ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) = ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) |
20 |
|
eqid |
|- ( ( T .\/ U ) .\/ S ) = ( ( T .\/ U ) .\/ S ) |
21 |
17 2 3 4 18 6 7 19 20 10
|
dalem32 |
|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) /\ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) = ( ( T .\/ U ) .\/ S ) /\ ( ( c e. A /\ d e. A ) /\ -. c .<_ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) /\ ( d =/= c /\ -. d .<_ ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) /\ C .<_ ( c .\/ d ) ) ) ) -> c .<_ ( I .\/ R ) ) |
22 |
12 14 16 21
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ Y = Z /\ ps ) -> c .<_ ( I .\/ R ) ) |