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Definition df-lnfn

Description: Define the set of linear functionals on Hilbert space. (Contributed by NM, 11-Feb-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion df-lnfn 
|- LinFn = { t e. ( CC ^m ~H ) | A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) ) }

Detailed syntax breakdown

Step Hyp Ref Expression
0 clf 
 |-  LinFn
1 vt 
 |-  t
2 cc 
 |-  CC
3 cmap 
 |-  ^m
4 chba 
 |-  ~H
5 2 4 3 co 
 |-  ( CC ^m ~H )
6 vx 
 |-  x
7 vy 
 |-  y
8 vz 
 |-  z
9 1 cv 
 |-  t
10 6 cv 
 |-  x
11 csm 
 |-  .h
12 7 cv 
 |-  y
13 10 12 11 co 
 |-  ( x .h y )
14 cva 
 |-  +h
15 8 cv 
 |-  z
16 13 15 14 co 
 |-  ( ( x .h y ) +h z )
17 16 9 cfv 
 |-  ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) )
18 cmul 
 |-  x.
19 12 9 cfv 
 |-  ( t ` y )
20 10 19 18 co 
 |-  ( x x. ( t ` y ) )
21 caddc 
 |-  +
22 15 9 cfv 
 |-  ( t ` z )
23 20 22 21 co 
 |-  ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) )
24 17 23 wceq 
 |-  ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) )
25 24 8 4 wral 
 |-  A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) )
26 25 7 4 wral 
 |-  A. y e. ~H A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) )
27 26 6 2 wral 
 |-  A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) )
28 27 1 5 crab 
 |-  { t e. ( CC ^m ~H ) | A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) ) }
29 0 28 wceq 
 |-  LinFn = { t e. ( CC ^m ~H ) | A. x e. CC A. y e. ~H A. z e. ~H ( t ` ( ( x .h y ) +h z ) ) = ( ( x x. ( t ` y ) ) + ( t ` z ) ) }