Theorem dfac0

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice. The proof uses the Axiom of Regularity. The right-hand side is our original ax-ac . (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015)

	Ref	Expression
Assertion	dfac0	|- ( CHOICE <-> A. x E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac7	|- ( CHOICE <-> A. x E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
2		aceq0	|- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) )
3	2	albii	|- ( A. x E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. x E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) )
4	1 3	bitri	|- ( CHOICE <-> A. x E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. v A. u ( E. t ( ( u e. w /\ w e. t ) /\ ( u e. t /\ t e. y ) ) <-> u = v ) ) )