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Theorem dfac1

Description: Equivalence of two versions of the Axiom of Choice ax-ac . The proof uses the Axiom of Regularity. The right-hand side expresses our AC with the fewest number of different variables. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015)

Ref Expression
Assertion dfac1
|- ( CHOICE <-> A. x E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dfac7
 |-  ( CHOICE <-> A. x E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) )
2 aceq1
 |-  ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
3 2 albii
 |-  ( A. x E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. x E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )
4 1 3 bitri
 |-  ( CHOICE <-> A. x E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) )