Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
biidd |
|- ( w = t -> ( E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) ) |
2 |
1
|
cbvralvw |
|- ( A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. t e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) |
3 |
|
elequ1 |
|- ( v = z -> ( v e. u <-> z e. u ) ) |
4 |
3
|
anbi2d |
|- ( v = z -> ( ( h e. u /\ v e. u ) <-> ( h e. u /\ z e. u ) ) ) |
5 |
4
|
rexbidv |
|- ( v = z -> ( E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) ) |
6 |
5
|
cbvreuvw |
|- ( E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) |
7 |
6
|
ralbii |
|- ( A. t e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) |
8 |
2 7
|
bitri |
|- ( A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) |
9 |
8
|
ralbii |
|- ( A. h e. x A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) <-> A. h e. x A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) |
10 |
|
elequ1 |
|- ( z = h -> ( z e. u <-> h e. u ) ) |
11 |
10
|
anbi1d |
|- ( z = h -> ( ( z e. u /\ v e. u ) <-> ( h e. u /\ v e. u ) ) ) |
12 |
11
|
rexbidv |
|- ( z = h -> ( E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) ) |
13 |
12
|
reueqd |
|- ( z = h -> ( E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) ) |
14 |
13
|
raleqbi1dv |
|- ( z = h -> ( A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) ) |
15 |
14
|
cbvralvw |
|- ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. h e. x A. w e. h E! v e. h E. u e. y ( h e. u /\ v e. u ) ) |
16 |
|
elequ1 |
|- ( w = h -> ( w e. u <-> h e. u ) ) |
17 |
16
|
anbi1d |
|- ( w = h -> ( ( w e. u /\ z e. u ) <-> ( h e. u /\ z e. u ) ) ) |
18 |
17
|
rexbidv |
|- ( w = h -> ( E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) ) |
19 |
18
|
reueqd |
|- ( w = h -> ( E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) ) |
20 |
19
|
raleqbi1dv |
|- ( w = h -> ( A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) ) |
21 |
20
|
cbvralvw |
|- ( A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. h e. x A. t e. h E! z e. h E. u e. y ( h e. u /\ z e. u ) ) |
22 |
9 15 21
|
3bitr4i |
|- ( A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) |
23 |
22
|
exbii |
|- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) |
24 |
|
19.21v |
|- ( A. z ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) <-> ( w e. x -> A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) ) |
25 |
|
impexp |
|- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( z e. w -> ( w e. x -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) ) |
26 |
|
bi2.04 |
|- ( ( z e. w -> ( w e. x -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) <-> ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) ) |
27 |
25 26
|
bitri |
|- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) ) |
28 |
27
|
albii |
|- ( A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. z ( w e. x -> ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) ) |
29 |
|
eu6 |
|- ( E! z ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> E. x A. z ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) ) |
30 |
|
df-reu |
|- ( E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E! z ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) ) |
31 |
|
19.42v |
|- ( E. x ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) <-> ( z e. w /\ E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) ) |
32 |
|
an42 |
|- ( ( ( z e. w /\ x e. y ) /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) <-> ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) ) |
33 |
|
anass |
|- ( ( ( z e. w /\ x e. y ) /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) <-> ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) ) |
34 |
32 33
|
bitr3i |
|- ( ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) ) |
35 |
34
|
exbii |
|- ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> E. x ( z e. w /\ ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) ) |
36 |
|
df-rex |
|- ( E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. u ( u e. y /\ ( w e. u /\ z e. u ) ) ) |
37 |
|
elequ1 |
|- ( u = x -> ( u e. y <-> x e. y ) ) |
38 |
|
elequ2 |
|- ( u = x -> ( w e. u <-> w e. x ) ) |
39 |
|
elequ2 |
|- ( u = x -> ( z e. u <-> z e. x ) ) |
40 |
38 39
|
anbi12d |
|- ( u = x -> ( ( w e. u /\ z e. u ) <-> ( w e. x /\ z e. x ) ) ) |
41 |
37 40
|
anbi12d |
|- ( u = x -> ( ( u e. y /\ ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) ) |
42 |
41
|
cbvexvw |
|- ( E. u ( u e. y /\ ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) |
43 |
36 42
|
bitri |
|- ( E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) |
44 |
43
|
anbi2i |
|- ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( z e. w /\ E. x ( x e. y /\ ( w e. x /\ z e. x ) ) ) ) |
45 |
31 35 44
|
3bitr4i |
|- ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) ) |
46 |
45
|
bibi1i |
|- ( ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) <-> ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) ) |
47 |
46
|
albii |
|- ( A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) <-> A. z ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) ) |
48 |
47
|
exbii |
|- ( E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) <-> E. x A. z ( ( z e. w /\ E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> z = x ) ) |
49 |
29 30 48
|
3bitr4i |
|- ( E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) |
50 |
49
|
imbi2i |
|- ( ( t e. w -> E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) |
51 |
50
|
albii |
|- ( A. t ( t e. w -> E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> A. t ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) |
52 |
|
df-ral |
|- ( A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. t ( t e. w -> E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) ) |
53 |
|
nfv |
|- F/ t ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) |
54 |
|
nfv |
|- F/ z t e. w |
55 |
|
nfa1 |
|- F/ z A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) |
56 |
55
|
nfex |
|- F/ z E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) |
57 |
54 56
|
nfim |
|- F/ z ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) |
58 |
|
elequ1 |
|- ( z = t -> ( z e. w <-> t e. w ) ) |
59 |
58
|
imbi1d |
|- ( z = t -> ( ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) ) |
60 |
53 57 59
|
cbvalv1 |
|- ( A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. t ( t e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) |
61 |
51 52 60
|
3bitr4i |
|- ( A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) |
62 |
61
|
imbi2i |
|- ( ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) <-> ( w e. x -> A. z ( z e. w -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) ) |
63 |
24 28 62
|
3bitr4i |
|- ( A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) ) |
64 |
63
|
albii |
|- ( A. w A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. w ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) ) |
65 |
|
alcom |
|- ( A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) <-> A. w A. z ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) |
66 |
|
df-ral |
|- ( A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. w ( w e. x -> A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) ) ) |
67 |
64 65 66
|
3bitr4ri |
|- ( A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) |
68 |
67
|
exbii |
|- ( E. y A. w e. x A. t e. w E! z e. w E. u e. y ( w e. u /\ z e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) |
69 |
23 68
|
bitri |
|- ( E. y A. z e. x A. w e. z E! v e. z E. u e. y ( z e. u /\ v e. u ) <-> E. y A. z A. w ( ( z e. w /\ w e. x ) -> E. x A. z ( E. x ( ( z e. w /\ w e. x ) /\ ( z e. x /\ x e. y ) ) <-> z = x ) ) ) |