Theorem dfint3

Description: Quantifier-free definition of class intersection. (Contributed by Scott Fenton, 13-Apr-2018)

	Ref	Expression
Assertion	dfint3	|- |^| A = ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfint2	|- |^| A = { x | A. y e. A x e. y }
2		ralnex	|- ( A. y e. A -. y `' ( _V \ _E ) x <-> -. E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x )
3		vex	|- y e. _V
4		vex	|- x e. _V
5	3 4	brcnv	|- ( y `' ( _V \ _E ) x <-> x ( _V \ _E ) y )
6		brv	|- x _V y
7		brdif	|- ( x ( _V \ _E ) y <-> ( x _V y /\ -. x _E y ) )
8	6 7	mpbiran	|- ( x ( _V \ _E ) y <-> -. x _E y )
9	5 8	bitr2i	|- ( -. x _E y <-> y `' ( _V \ _E ) x )
10	9	con1bii	|- ( -. y `' ( _V \ _E ) x <-> x _E y )
11		epel	|- ( x _E y <-> x e. y )
12	10 11	bitr2i	|- ( x e. y <-> -. y `' ( _V \ _E ) x )
13	12	ralbii	|- ( A. y e. A x e. y <-> A. y e. A -. y `' ( _V \ _E ) x )
14		eldif	|- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> ( x e. _V /\ -. x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) )
15	4 14	mpbiran	|- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> -. x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) )
16	4	elima	|- ( x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) <-> E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x )
17	15 16	xchbinx	|- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> -. E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x )
18	2 13 17	3bitr4ri	|- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> A. y e. A x e. y )
19	18	eqabi	|- ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) = { x | A. y e. A x e. y }
20	1 19	eqtr4i	|- |^| A = ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) )