Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfint2 |
|- |^| A = { x | A. y e. A x e. y } |
2 |
|
ralnex |
|- ( A. y e. A -. y `' ( _V \ _E ) x <-> -. E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x ) |
3 |
|
vex |
|- y e. _V |
4 |
|
vex |
|- x e. _V |
5 |
3 4
|
brcnv |
|- ( y `' ( _V \ _E ) x <-> x ( _V \ _E ) y ) |
6 |
|
brv |
|- x _V y |
7 |
|
brdif |
|- ( x ( _V \ _E ) y <-> ( x _V y /\ -. x _E y ) ) |
8 |
6 7
|
mpbiran |
|- ( x ( _V \ _E ) y <-> -. x _E y ) |
9 |
5 8
|
bitr2i |
|- ( -. x _E y <-> y `' ( _V \ _E ) x ) |
10 |
9
|
con1bii |
|- ( -. y `' ( _V \ _E ) x <-> x _E y ) |
11 |
|
epel |
|- ( x _E y <-> x e. y ) |
12 |
10 11
|
bitr2i |
|- ( x e. y <-> -. y `' ( _V \ _E ) x ) |
13 |
12
|
ralbii |
|- ( A. y e. A x e. y <-> A. y e. A -. y `' ( _V \ _E ) x ) |
14 |
|
eldif |
|- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> ( x e. _V /\ -. x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) ) |
15 |
4 14
|
mpbiran |
|- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> -. x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) |
16 |
4
|
elima |
|- ( x e. ( `' ( _V \ _E ) " A ) <-> E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x ) |
17 |
15 16
|
xchbinx |
|- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> -. E. y e. A y `' ( _V \ _E ) x ) |
18 |
2 13 17
|
3bitr4ri |
|- ( x e. ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) <-> A. y e. A x e. y ) |
19 |
18
|
abbi2i |
|- ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) = { x | A. y e. A x e. y } |
20 |
1 19
|
eqtr4i |
|- |^| A = ( _V \ ( `' ( _V \ _E ) " A ) ) |