Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ditgcl.x |
|- ( ph -> X e. RR ) |
2 |
|
ditgcl.y |
|- ( ph -> Y e. RR ) |
3 |
|
ditgcl.a |
|- ( ph -> A e. ( X [,] Y ) ) |
4 |
|
ditgcl.b |
|- ( ph -> B e. ( X [,] Y ) ) |
5 |
|
ditgcl.c |
|- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> C e. V ) |
6 |
|
ditgcl.i |
|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. L^1 ) |
7 |
|
elicc2 |
|- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( A e. ( X [,] Y ) <-> ( A e. RR /\ X <_ A /\ A <_ Y ) ) ) |
8 |
1 2 7
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( A e. ( X [,] Y ) <-> ( A e. RR /\ X <_ A /\ A <_ Y ) ) ) |
9 |
3 8
|
mpbid |
|- ( ph -> ( A e. RR /\ X <_ A /\ A <_ Y ) ) |
10 |
9
|
simp1d |
|- ( ph -> A e. RR ) |
11 |
|
elicc2 |
|- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> ( B e. ( X [,] Y ) <-> ( B e. RR /\ X <_ B /\ B <_ Y ) ) ) |
12 |
1 2 11
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( B e. ( X [,] Y ) <-> ( B e. RR /\ X <_ B /\ B <_ Y ) ) ) |
13 |
4 12
|
mpbid |
|- ( ph -> ( B e. RR /\ X <_ B /\ B <_ Y ) ) |
14 |
13
|
simp1d |
|- ( ph -> B e. RR ) |
15 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A <_ B ) |
16 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A e. RR ) |
17 |
14
|
adantr |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> B e. RR ) |
18 |
15 16 17
|
ditgneg |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> S_ [ B -> A ] C _d x = -u S. ( A (,) B ) C _d x ) |
19 |
15
|
ditgpos |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> S_ [ A -> B ] C _d x = S. ( A (,) B ) C _d x ) |
20 |
19
|
negeqd |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> -u S_ [ A -> B ] C _d x = -u S. ( A (,) B ) C _d x ) |
21 |
18 20
|
eqtr4d |
|- ( ( ph /\ A <_ B ) -> S_ [ B -> A ] C _d x = -u S_ [ A -> B ] C _d x ) |
22 |
1
|
rexrd |
|- ( ph -> X e. RR* ) |
23 |
13
|
simp2d |
|- ( ph -> X <_ B ) |
24 |
|
iooss1 |
|- ( ( X e. RR* /\ X <_ B ) -> ( B (,) A ) C_ ( X (,) A ) ) |
25 |
22 23 24
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( B (,) A ) C_ ( X (,) A ) ) |
26 |
2
|
rexrd |
|- ( ph -> Y e. RR* ) |
27 |
9
|
simp3d |
|- ( ph -> A <_ Y ) |
28 |
|
iooss2 |
|- ( ( Y e. RR* /\ A <_ Y ) -> ( X (,) A ) C_ ( X (,) Y ) ) |
29 |
26 27 28
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( X (,) A ) C_ ( X (,) Y ) ) |
30 |
25 29
|
sstrd |
|- ( ph -> ( B (,) A ) C_ ( X (,) Y ) ) |
31 |
30
|
sselda |
|- ( ( ph /\ x e. ( B (,) A ) ) -> x e. ( X (,) Y ) ) |
32 |
|
iblmbf |
|- ( ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. L^1 -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. MblFn ) |
33 |
6 32
|
syl |
|- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> C ) e. MblFn ) |
34 |
33 5
|
mbfmptcl |
|- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> C e. CC ) |
35 |
31 34
|
syldan |
|- ( ( ph /\ x e. ( B (,) A ) ) -> C e. CC ) |
36 |
|
ioombl |
|- ( B (,) A ) e. dom vol |
37 |
36
|
a1i |
|- ( ph -> ( B (,) A ) e. dom vol ) |
38 |
30 37 5 6
|
iblss |
|- ( ph -> ( x e. ( B (,) A ) |-> C ) e. L^1 ) |
39 |
35 38
|
itgcl |
|- ( ph -> S. ( B (,) A ) C _d x e. CC ) |
40 |
39
|
adantr |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> S. ( B (,) A ) C _d x e. CC ) |
41 |
40
|
negnegd |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> -u -u S. ( B (,) A ) C _d x = S. ( B (,) A ) C _d x ) |
42 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B <_ A ) |
43 |
14
|
adantr |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> B e. RR ) |
44 |
10
|
adantr |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> A e. RR ) |
45 |
42 43 44
|
ditgneg |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> S_ [ A -> B ] C _d x = -u S. ( B (,) A ) C _d x ) |
46 |
45
|
negeqd |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> -u S_ [ A -> B ] C _d x = -u -u S. ( B (,) A ) C _d x ) |
47 |
42
|
ditgpos |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> S_ [ B -> A ] C _d x = S. ( B (,) A ) C _d x ) |
48 |
41 46 47
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ph /\ B <_ A ) -> S_ [ B -> A ] C _d x = -u S_ [ A -> B ] C _d x ) |
49 |
10 14 21 48
|
lecasei |
|- ( ph -> S_ [ B -> A ] C _d x = -u S_ [ A -> B ] C _d x ) |