Metamath Proof Explorer

Theorem djhval

Description: Subspace join for DVecH vector space. (Contributed by NM, 19-Jul-2014)

Ref Expression
Hypotheses djhval.h 
|- H = ( LHyp ` K )
djhval.u 
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
djhval.v 
|- V = ( Base ` U )
djhval.o 
|- ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
djhval.j 
|- .\/ = ( ( joinH ` K ) ` W )
Assertion djhval 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( X .\/ Y ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 djhval.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 djhval.u 
 |-  U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
3 djhval.v 
 |-  V = ( Base ` U )
4 djhval.o 
 |-  ._|_ = ( ( ocH ` K ) ` W )
5 djhval.j 
 |-  .\/ = ( ( joinH ` K ) ` W )
6 1 2 3 4 5 djhfval 
 |-  ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> .\/ = ( x e. ~P V , y e. ~P V |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) )
7 6 adantr 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> .\/ = ( x e. ~P V , y e. ~P V |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) )
8 7 oveqd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( X .\/ Y ) = ( X ( x e. ~P V , y e. ~P V |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) Y ) )
9 3 fvexi 
 |-  V e. _V
10 9 elpw2 
 |-  ( X e. ~P V <-> X C_ V )
11 10 biimpri 
 |-  ( X C_ V -> X e. ~P V )
12 11 ad2antrl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> X e. ~P V )
13 9 elpw2 
 |-  ( Y e. ~P V <-> Y C_ V )
14 13 biimpri 
 |-  ( Y C_ V -> Y e. ~P V )
15 14 ad2antll 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> Y e. ~P V )
16 fvexd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) e. _V )
17 fveq2 
 |-  ( x = X -> ( ._|_ ` x ) = ( ._|_ ` X ) )
18 17 ineq1d 
 |-  ( x = X -> ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` y ) ) )
19 18 fveq2d 
 |-  ( x = X -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) )
20 fveq2 
 |-  ( y = Y -> ( ._|_ ` y ) = ( ._|_ ` Y ) )
21 20 ineq2d 
 |-  ( y = Y -> ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` y ) ) = ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) )
22 21 fveq2d 
 |-  ( y = Y -> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) )
23 eqid 
 |-  ( x e. ~P V , y e. ~P V |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) = ( x e. ~P V , y e. ~P V |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) )
24 19 22 23 ovmpog 
 |-  ( ( X e. ~P V /\ Y e. ~P V /\ ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) e. _V ) -> ( X ( x e. ~P V , y e. ~P V |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) Y ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) )
25 12 15 16 24 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( X ( x e. ~P V , y e. ~P V |-> ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` x ) i^i ( ._|_ ` y ) ) ) ) Y ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) )
26 8 25 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X C_ V /\ Y C_ V ) ) -> ( X .\/ Y ) = ( ._|_ ` ( ( ._|_ ` X ) i^i ( ._|_ ` Y ) ) ) )